Esercizi Svolti: Studio di Funzione Logaritmica

In questo articolo svolgiamo gli Esercizi Svolti sullo Studio di Funzioni Logaritmiche.

Analizzeremo 4 funzioni di complessità crescente, determinando per ciascuna il Dominio (C.E.), le Intersezioni con gli assi e il Segno.

Ricorda:

• Dominio: L’argomento del logaritmo deve essere strettamente positivo ($>0$).
• Segno: $\log_a f(x) > 0 \iff f(x) > 1$ (se la base $a > 1$).

Questi esercizi sono presenti nel quiz correlato

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Funzione 1: Logaritmo di Polinomio

$$f(x) = \ln(x^2 – 4)$$

Esercizio 1: Dominio

Domanda: Qual è il dominio della funzione $f(x) = \ln(x^2 – 4)$?

Risposta Corretta: $x < -2 \lor x > 2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

• Condizione: Argomento $> 0$.
• Disequazione: $x^2 – 4 > 0$.
• Soluzione: Valori esterni alle radici $\pm 2$.
• Dominio: $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.

Esercizio 2: Intersezioni con gli Assi

Domanda: Trova le intersezioni con gli assi.

Risposta Corretta: Asse y: Nessuna; Asse x: $(\pm \sqrt{5}, 0)$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

• Asse y ($x=0$): $x=0$ non appartiene al dominio ($-2 < 0 < 2$). Nessuna intersezione.
• Asse x ($y=0$): $\ln(x^2 – 4) = 0$.
  • $x^2 – 4 = e^0 \rightarrow x^2 – 4 = 1$.
  • $x^2 = 5 \rightarrow x = \pm \sqrt{5}$.
  • Poiché $\sqrt{5} \approx 2.23 > 2$, entrambe sono accettabili.

Esercizio 3: Studio del Segno

Domanda: Dove la funzione è positiva ($f(x) > 0$)?

Risposta Corretta: $x < -\sqrt{5} \lor x > \sqrt{5}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

• Disequazione: $\ln(x^2 – 4) > 0$.
• Argomento > 1: $x^2 – 4 > 1$.
• Risoluzione: $x^2 > 5 \rightarrow x < -\sqrt{5} \lor x > \sqrt{5}$.

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Funzione 2: Logaritmo di una Funzione Fratta

$$f(x) = \ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$$

Esercizio 4: Dominio

Domanda: Qual è il dominio di $f(x) = \ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$?

Risposta Corretta: $x < -1 \lor x > 1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

• Condizione: Argomento $> 0$.
• Studio Segno Frazione: $\frac{x-1}{x+1} > 0$.
  • $N > 0 \rightarrow x > 1$.
  • $D > 0 \rightarrow x > -1$.
  • Concordi (positivi) per $x < -1 \lor x > 1$.

Esercizio 5: Intersezioni con l’Asse X

Domanda: Trova gli zeri della funzione (Asse y esclusa dal dominio).

Risposta Corretta: Nessuna intersezione

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

• Equazione: $\ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right) = 0$.
• Argomento = 1: $\frac{x-1}{x+1} = 1$.
• Risoluzione: $x – 1 = x + 1 \rightarrow -1 = 1$.
• Conclusione: Equazione impossibile. La funzione non interseca l’asse x (ha un asintoto orizzontale $y=0$ ma non lo tocca mai).

Esercizio 6: Studio del Segno

Domanda: In quale intervallo la funzione è positiva?

Risposta Corretta: $x < -1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

• Disequazione: $\frac{x-1}{x+1} > 1$.
• Passaggio: $\frac{x-1}{x+1} – 1 > 0 \rightarrow \frac{x-1 – (x+1)}{x+1} > 0$.$\frac{-2}{x+1} > 0$.
• Analisi: Il numeratore è negativo (-2). Affinché la frazione sia positiva, anche il denominatore deve essere negativo.
• Soluzione: $x + 1 < 0 \rightarrow x < -1$. (Intervallo compatibile col dominio).

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Funzione 3: Logaritmo di Funzione Irrazionale

$$f(x) = \ln(\sqrt{x} – 1)$$

Esercizio 7: Dominio

Domanda: Determina il dominio di $f(x) = \ln(\sqrt{x} – 1)$.

Risposta Corretta: $x > 1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

• Sistema di Condizioni:
  1. Radicando $\ge 0 \rightarrow x \ge 0$.
  2. Argomento Log $> 0 \rightarrow \sqrt{x} – 1 > 0$.
• Risoluzione 2: $\sqrt{x} > 1 \rightarrow x > 1$.
• Intersezione: $x > 1$.

Esercizio 8: Intersezioni con l’Asse X

Domanda: Qual è lo zero della funzione?

Risposta Corretta: $x = 4$

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

• Equazione: $\ln(\sqrt{x} – 1) = 0$.
• Argomento = 1: $\sqrt{x} – 1 = 1 \rightarrow \sqrt{x} = 2$.
• Quadrato: $x = 4$.

Esercizio 9: Studio del Segno

Domanda: Dove è positiva la funzione?

Risposta Corretta: $x > 4$

Svolgimento (ID CSS: domanda-9):

• Disequazione: $\sqrt{x} – 1 > 1$.
• Risoluzione: $\sqrt{x} > 2 \rightarrow x > 4$.

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Funzione 4: Logaritmo di Funzione Esponenziale

$$f(x) = \ln(e^x – 2)$$

Esercizio 10: Dominio

Domanda: Qual è il dominio di $f(x) = \ln(e^x – 2)$?

Risposta Corretta: $x > \ln 2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

• Condizione: $e^x – 2 > 0$.
• Risoluzione: $e^x > 2$.
• Logaritmo: $x > \ln 2$.

Esercizio 11: Intersezioni con l’Asse X

Domanda: Trova gli zeri della funzione.

Risposta Corretta: $x = \ln 3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-11):

• Equazione: $e^x – 2 = 1$.
• Risoluzione: $e^x = 3 \rightarrow x = \ln 3$.

Esercizio 12: Studio del Segno

Domanda: Risolvi la disequazione $f(x) > 0$.

Risposta Corretta: $x > \ln 3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-12):

• Disequazione: $e^x – 2 > 1$.
• Risoluzione: $e^x > 3 \rightarrow x > \ln 3$.

IMPARA A SVOLGERE LO STUDIO DI FUNZIONE !!!

Lo studio di funzione è uno spietato effetto domino. Un solo errore nel dominio, e l’intero grafico finale sarà sbagliato.

E il momento in cui tutti vanno nel panico? Quando nel testo compare un logaritmo. Condizioni di esistenza insidiose e derivate infinite sono la trappola perfetta del professore per farti bocciare.

Smetti di incrociare le dita sperando in un compito “facile”. Ho strutturato questo percorso per darti una procedura blindata, passo dopo passo, per dominare qualsiasi funzione: