DERIVATA DI UNA FRAZIONE

In questo articolo vediamo come si calcola la derivata di una funzione fratta ad una variabile reale.

REGOLA PER LA DERIVAZIONE DI UNA FUNZIONE FRATTA

Per calcolare la derivata di una frazione usiamo una semplice regola.

Creiamo una frazione con al numeratore il prodotto tra la derivata del numeratore per il denominatore (non derivato) meno il numeratore (non derivato) per la derivata del denominatore.

Mentre al denominatore mettiamo il quadrato del denominatore.

Vediamo la scrittura matematica.

$$ y=\frac{N(x)}{D(x)}\to y’=\frac{\left(N(x)\right)’\cdot D(x)-N(x)\cdot\left(D(x)\right)’}{\left(D(x)\right)^2}$$

DIMOSTRAZIONE DELLA DERIVATA DI UNA FRAZIONE

Proviamo a dare una dimostrazione della validità di questa regole.

Per farlo ci serviranno anche le conoscenze della derivata di un prodotto e della derivata composta.

Partiamo dalla funzione fratta:

$$ y=\frac{N(x)}{D(x)}$$

 che possiamo riscrivere anche come il prodotto tra il numeratore e il reciproco del denominatore.

Tale reciproco del denominatore può a sua volta essere letto come il denominatore elevato alla meno uno.

$$ y=\frac{N(x)}{D(x)}=N(x)\cdot \frac{1}{D(x)}=N(x)\cdot \left(D(x)\right)^{-1}$$

Ricordando la regola per la derivata di un prodotto:

$$ \left( f(x)\cdot g(x)\right)= f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$

Applichiamo questa regola per derivare la nostra frazione che abbiamo riscritto in forma di prodotto

$$ y’=\left( N(x)\right)’\cdot \left( D(x)\right)^{-1}+N(x)\cdot\left(\left( D(x)\right)^{-1}\right)’$$

Ricordando anche la regola per le derivata composta della funzione potenza che applichiamo al secondo fattore del secondo addendo

$$\left(\left(f(x)\right)^\alpha\right)=\alpha\left(f(x)\right)^{\alpha-1}f'(x)$$

Otteniamo che

$$ y’=\left( N(x)\right)’\cdot \left( D(x)\right)^{-1}+N(x)\cdot(-1)\left( D(x)\right)^{-2}\left(D(x)\right)’$$

Ribaltiamo le potenze con esponente negativo (cambiando il segno all’esponente)

$$ y’=\left( N(x)\right)’\cdot \frac{1}{D(x)}+N(x)\cdot(-1)\frac{1}{\left(D(x)\right)^2}\left(D(x)\right)’$$

Riscriviamo meglio

$$ y’=\frac{\left(N(x)\right)’}{D(x)}-\frac{N(x)\left(D(x)\right)}{\left(D(x)\right)^2}$$

Facciamo il denominatore comune ed otteniamo la nostra regola

$$y’=frac{\left(N(x)\right)’\cdot D(x)-N(x)\cdot\left(D(x)\right)’}{\left(D(x)\right)^2}$$

ESEMPI DELLA DERIVATA DI UNA FRAZIONE

Svolgiamo alcuni esempi per calcolare la derivata di una funzione composta

ESEMPIO 1 – DERIVATA DI UNA FRAZIONE

Calcoliamo la derivata della seguente funzione fratta

$$ y=\frac{2x}{x-1}$$

Applichiamo la regola per la derivata di una funzione fratta

$$ \begin{array}{l} \normalsize y’=\large\frac{(2x)'(x-1)-(2x)(x-1)’}{(x-2)^2}\\ \normalsize y’=\large\frac{2(x-1)-(2x)\cdot1}{(x-1)^2} \\ \normalsize y’=\large\frac{2x-2-2x}{(x-1)^2} \\ \normalsize y’=\large\frac{-2}{(x-1)^2} \end{array}$$

ESEMPIO 2 – 

Calcoliamo la derivata della seguente funzione fratta

$$ y=\frac{3x+1}{2x-1}$$

Applichiamo la regola per la derivata di una funzione fratta

$$ \begin{array}{l} \normalsize y’=\large\frac{(3x+1)'(2x-1)-(3x+1)(2x-1)’}{(2x-1)^2}\\ \normalsize y’=\large\frac{3(2x-1)-(3x+1)\cdot2}{(2x-1)^2}\\ \normalsize y’=\large\frac{6x-3-6x-2}{(2x-1)^2}\\ \normalsize y’=\large\frac{-5}{(2x-1)^2}\end{array}$$

ESEMPIO 3 – DERIVATA DI UNA FRAZIONE

Calcoliamo la derivata della frazione

$$ y=\frac{x^2+1}{x-3}$$

Applichiamo la regola per la derivata di una funzione fratta

$$ \begin{array}{l} \normalsize y’=\large\frac{(x^2+1)'(x-3)-(x^2+1)(x-3)’}{(x-3)^2}\\ \normalsize y’=\large\frac{2x(x-3)-(x^2+1)\cdot1}{(x-3)^2}\\ \normalsize y’=\large\frac{2x^2-6x-x^2-1}{(x-3)^2}\\ \normalsize y’=\large\frac{x^2-6x-1}{(x-3)^2}\end{array}$$

ESEMPIO 4 – 

$$ y=\frac{x^2-4}{x^2+2}$$

Applichiamo la regola per la derivata di una funzione fratta

$$ \begin{array}{l} \normalsize y’=\large\frac{(x^2-4)'(x^2+2)-(x^2-4)(x^2+2)’}{(x^2+2)^2}\\ \normalsize y’=\large\frac{2x(x^2+2)-(x^2-4)\cdot2x}{(x^2+2)^2}\end{array}$$

Raccogliamo a fattor comune al numeratore

$$ \begin{array}{l} \normalsize y’=\large\frac{2x(x^2+2-x^2+4}{(x^2+2)^2}\\ \normalsize y’=\large\frac{12x}{(x^2+2)^2}\end{array}$$

ESEMPIO 5 – 

$$ y=\frac{x^2-x+2}{x^2+2x+3}$$

Applichiamo la regola per la derivata di una funzione fratta

$$ \begin{array}{l} \normalsize y’=\large\frac{(x^2-x+2)'(x^2+2x+3)-(x^2-x+2)(x^2+2x+3)’}{(x^2+2x+3)^2}\\ \normalsize y’=\large\frac{(2x-1)(x^2+2x+3)-(x^2-x+2)(2x+2)}{(x^2+2x+3)^2}\end{array}$$

Svolgiamo i calcoli al numeratore

$$ \begin{array}{l} (2x^3+4x^2+6x-x^2-2x-3)-(2x^3+2x^2-2x^2-2x+4x+4)\\ (2x^3+3x^2+4x-3)-(2x^3-2x+4)\\ 3x^2+6x-7\end{array}$$

Scriviamo infine la derivata prima

$$ y’=\frac{3x^2+6x-7}{(x^2+2x+3)^2}$$

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ESEMPIO 6 – DERIVATA DI UNA FRAZIONE

$$ y=\frac{e^x+1}{e^x-1}$$

Applichiamo la regola per la derivata di una funzione fratta

$$ \begin{array}{l} \normalsize y’=\large\frac{(e^x+1)'(e^x-1)-(e^x+1)(e^x-1)’}{(e^x-1)^2}\\ \normalsize y’=\large\frac{e^x(e^x-1)-(e^x+1)e^x}{(e^x-1)^2}\end{array}$$

Raccogliamo e^x al numeratore

$$ \begin{array}{l} \normalsize y’=\large\frac{e^x(e^x-1-e^x-1}{(e^x-1)^2}\\ \normalsize y’=\large\frac{-2e^x}{(e^x-1)^2}\end{array}$$

ESEMPIO 7 – 

$$ y=\frac{xe^x-1}{2e^x+x}$$

Applichiamo la regola per la derivata di una funzione fratta

$$y’=\frac{(xe^x-1)'(2e^x+x)-(xe^x-1)(2e^x+x)’}{(2e^x+x)^2}$$

Per fare la derivata del numeratore dobbiamo sviluppare la derivata di un prodotto

$$ (xe^x-1)’=(xe^x)’-(1)’=1\cdot e^x+x e^x-0=e^x+xe^x$$

Mentre la derivata del denominatore è la somma di due derivate elementari:

$$ (2e^x+x)’=2(e^x)’+(x)’=2e^x+1$$

Dunque riprendiamo la nostra frazione

$$ y’=\frac{(e^x+xe^x)(2e^x+x)-(xe^x-1)(2e^x+1)}{(2e^x+x)^2}$$

Sviluppiamo i conti al numeratore

$$ \begin{array}{l} (2e^{2x}+xe^x+2xe^{2x}+x^2e^x)-(2xe^{2x}+xe^x-2e^x-1)\\ x^2e^x+2e^{2x}-2e^x-1\end{array}$$

Infine quindi la nostra derivata prima è:

$$ y’=\frac{x^2e^x+2e^{2x}-2e^x-1}{(2e^x+x)^2}$$

ESEMPIO 8 – DERIVATA DI UNA FRAZIONE

$$ y=\frac{x}{2-\ln x}$$

Applichiamo la regola per la derivata di una funzione fratta

$$ \begin{array}{l} \normalsize y’=\large\frac{(x)'(2-\ln x)-(x)(2-\ln x)’}{(2-\ln x)^2}\\ \normalsize y’=\large\frac{1\cdot(2-\ln x)-(x)\left(-\frac{1}{x}\right)}{(2-\ln x)^2}\end{array}$$

Sviluppiamo i conti al numeratore

$$ y’=\frac{2-\ln x+1}{(2-\ln x)^2}\to y’=\frac{3-\ln x}{(2-\ln x)^2}$$

ESEMPIO 9 – DERIVATA DI UNA FRAZIONE

$$ y=\frac{2\ln x}{x^2}$$

Applichiamo la regola per la derivata di una funzione fratta

$$ \begin{array}{l} \normalsize y’=\large\frac{(2\ln x)'(x^2)-(2\ln x)(x^2)’}{x^4}\\ \normalsize y’=\large\frac{\frac{2}{x}\cdot x^2-(2\ln x)\cdot2x}{x^4}\end{array}$$

Raccogliamo 2x a fattor comune al numeratore

$$ y’=\frac{2x(1-2\ln x}{x^4}$$

Semplifichiamo

$$ y’=\frac{2(1-2\ln x)}{x^3}$$

ESEMPIO 10 – 

$$ y=\frac{x+\cos x}{\sin x}$$

Applichiamo la regola per la derivata di una funzione fratta

$$ \begin{array}{l} \normalsize y’=\large\frac{(x+\cos x)'(\sin x)-(x+\cos x)(\sin x)’}{(\sin x)^2}\\ \normalsize y’=\large\frac{(1-\sin x)(\sin x)-(x+\cos x)(-\cos x)}{(\sin x)^2}\\ \normalsize y’=\large\frac{\sin x-\sin^2x+x\cos x+\cos^2x}{\sin^2x}\end{array}$$

ESEMPIO 11 – 

$$ y=\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}$$

Applichiamo la regola per la derivata di una funzione fratta

$$ y’=\frac{(\sin x-\cos x)'(\sin x+\cos x)-(\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x)’}{(\sin x+\cos x)^2}$$

Concertiamoci prima sul denominatore

$$ (\sin x-\cos x)^2=$$

Per la relazione fondamentale della goniometria

$$ \sin^2x+\cos^2x=1$$

Mentre per le formula di duplicazione

$$ 2\sin x\cos x=\sin2x$$

Dunque riscriviamo momentaneamente la derivata così

$$ y’=\frac{(\sin x-\cos x)'(\sin x+\cos x)-(\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x)’}{(1-\sin2x}$$

Ora svolgiamo i calcoli al numeratore

$$(\cos x+\sin x)(\sin x+\cos x)-(\sin x-\cos x)(\cos x-\sin x)$$

I primi due fattori formano un quadrato di binomio, mentre si forma un altro quadrato di binomio tra i secondi due se raccogliamo un segno negativo

$$(\sin x+\cos x)^2+(\sin x-\cos x)^2$$

Applicando la formula del quadrato di binomio otteniamo:

$$(\sin^2x+\cos^2x+2\sin x\cos x)+(\sin^2x+\cos^2x-2\sin x\cos x)$$

Applichiamo nuovamente la relazione fondamentale ed eliminiamo i doppi prodotti

$$(1+2\sin x\cos x)+(1-2\sin x\cos x)=2$$

Dunque la nostra derivata risulta

$$ y’=\frac{2}{1-\sin2x}$$

ESEMPIO 12 – DERIVATA DI UNA FRAZIONE

$$ y=\frac{x\sin x}{e^x}$$

Applichiamo la regola per la derivata di una funzione fratta

$$ y’=\frac{(x\sin x)'(e^x)-(x\sin x)(e^x)’}{(e^x)^2}$$

Per la derivata del numeratore applichiamo la regola di derivazione del prodotto di funzioni

$$ y’=\frac{(\sin x-x\cos x)e^x-(x\sin x)e^x}{(e^x)^2}$$

Raccogliamo e^x al numeratore

$$ y’=\frac{e^x(\sin x-x\cos x-x\sin x}{(e^x)^2}$$

Semplifichiamo e^x

$$ y’=\frac{\sin x-x\cos x-x\sin x}{e^x}$$

Possiamo infine raccogliere sinx al numeratore

$$ y’=\frac{\sin x(1-x)-x\cos x}{e^x}$$

Da notare che avremmo potuto anche raccogliere la x

$$ y’=\frac{\sin x-x(\cos x-\sin x)}{e^x}$$

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ESEMPIO 13 – 

$$ y=\frac{(x-1)e^x}{x}$$

Applichiamo la regola per la derivata di una funzione fratta

$$ y’=\frac{(x-1)'(e^x)-(x-1)(e^x)’}{x^2}$$

Per la derivata del numeratore applichiamo la regola di derivazione del prodotto di funzioni

$$ y’=\frac{e^x-(x-1)e^x}{x^2}$$

Raccogliamo e^x al numeratore

$$ y’=\frac{e^x(2-x)}{x^2}$$

ESEMPIO 14 – 

$$ y=\frac{1-\ln x}{1+\ln x}$$

Applichiamo la regola per la derivata di una funzione fratta

$$ \begin{array}{l} \normalsize y’=\large\frac{(1-\ln x)'(1+\ln x)-(1-\ln x)(1+\ln x)’}{(1+\ln x)^2}\\ \normalsize y’=\large\frac{-\frac{1}{x}(1+\ln x)-(1-\ln x)\frac{1}{x}}{(1+\ln x)^2}\end{array}$$

Raccogliamo 1/x  al numeratore

$$ y’=\frac{\frac{1}{x}(-1-\ln x-1+\ln x)}{(1+\ln)^2}$$

Spostiamo la x al denominatore e svolgiamo i conti al numeratore

$$ y’=-\frac{2}{x(1+\ln x)^2}$$

ESEMPIO 15 – DERIVATA DI UNA FRAZIONE

$$ y=\frac{x(\ln x-1)}{x^2-4}$$

Applichiamo la regola per la derivata di una funzione fratta

$$ y’=\large\frac{\left(x(\ln x-1)\right)'(x^2-4)-\left(x(\ln x-1)\right)(x^2-4)’}{(x^2-4)^2}$$

Svolgiamo i calcoli al numeratore dove applichiamo la regola per la derivata di un prodotto

$$ \begin{array}{l} \left(1\cdot(\ln x-1)+x\cdot\frac{1}{x}\right)(x^2-4)-x(\ln x-1)2x=\\ (\ln x-1+1)(x^2-4)-2x^2(\ln x-1)=\\ (\ln x)(x^2-4)-2x^2(\ln x-1)=\\ x^2\ln x-4\ln x-2x^2\ln x+2x^2=\\ 2x^2-x^2\ln x-4\ln x=\\ 2x^2-\ln x(x^2+4)\end{array}$$

L”ultimo raccoglimento è opzionale in quanto non fattorizza interamente il numeratore 

(Avremmo potuto raccogliere a fattor comune x² con lo stesso risultato)

Dunque la nostra derivata

$$ y’=\frac{2x^2-\ln x(x^2+4)}{(x^2-4)^2}$$

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