Alle scuole superiori ci hanno insegnato una regola ferrea: “L’argomento del logaritmo deve essere sempre strettamente maggiore di zero”.
Quindi, scrivere $\ln(-1)$ o $\ln(-5)$ era considerato un errore grave, un’operazione impossibile nel campo reale.
Ma ora siamo nel campo dei Numeri Complessi. Qui le barriere cadono. Grazie alla forma esponenziale che abbiamo appena imparato, scopriremo che calcolare il logaritmo di un numero negativo (o immaginario) è un gioco da ragazzi.
INDICE
L’Approccio “Smart”: Sfruttare la Forma Esponenziale
Dimentichiamo per un attimo le definizioni complicate. Usiamo la logica.
Vogliamo calcolare $w = \ln(z)$.
Sappiamo che ogni numero complesso $z$ può essere scritto in forma esponenziale:
$$z = \rho \cdot e^{i(\theta + 2k\pi)}$$
(Nota: aggiungiamo $2k\pi$ perché l’angolo $\theta$ è periodico: fare un giro in più ci riporta nello stesso punto!)
Se applichiamo il logaritmo naturale a questa espressione, possiamo usare le classiche proprietà dei logaritmi che già conosciamo ($\ln(a \cdot b) = \ln a + \ln b$ e $\ln(e^x) = x$):
$$w = \ln(z) = \ln \left( \rho \cdot e^{i(\theta + 2k\pi)} \right)$$
Spezziamo il prodotto in somma:
$$w = \ln(\rho) + \ln \left( e^{i(\theta + 2k\pi)} \right)$$
Poiché il logaritmo è l’inverso dell’esponenziale, il secondo termine si semplifica immediatamente:
$$w = \ln(\rho) + i(\theta + 2k\pi)$$
La Formula Finale (Semplificata)
Ecco fatto. In due passaggi abbiamo ottenuto la formula fondamentale del Logaritmo Complesso:
$$\ln(z) = \ln|z| + i(\arg(z) + 2k\pi)$$
Dove:
- Parte Reale: È semplicemente il logaritmo naturale del modulo ($\ln|z|$).
- Parte Immaginaria: È l’angolo (argomento) del numero, più tutti i suoi possibili giri completi ($2k\pi$).
Poiché $k$ può essere qualsiasi numero intero ($0, \pm 1, \pm 2 \dots$), il logaritmo complesso restituisce infiniti valori. Solitamente, per $k=0$, otteniamo il Valore Principale.
Esempio Pratico 1: Il Logaritmo di -1
Proviamo a calcolare l’impossibile: $\ln(-1)$.
- Scriviamo -1 in forma esponenziale:
- Il modulo è 1 (distanza dall’origine).
- L’angolo è $\pi$ (180°, sta sull’asse negativo).
- Quindi: $-1 = 1 \cdot e^{i\pi}$.
- Applichiamo il logaritmo:$$\ln(-1) = \ln(1 \cdot e^{i\pi}) = \ln(1) + \ln(e^{i\pi})$$
- Risultato:Poiché $\ln(1) = 0$, rimane solo l’esponente:$$\ln(-1) = i\pi$$(Più tutte le periodicità $i(\pi + 2k\pi)$).
Incredibile ma vero: il logaritmo di -1 è un numero immaginario puro!
Esempio Pratico 2: Il Logaritmo di i
Calcoliamo $\ln(i)$.
- Forma esponenziale di $i$:
- Modulo: 1.
- Angolo: $\pi/2$ (90°).
- Quindi: $i = 1 \cdot e^{i\frac{\pi}{2}}$.
- Applichiamo il logaritmo:$$\ln(i) = \ln(1) + i\frac{\pi}{2} = 0 + i\frac{\pi}{2}$$
Risultato principale: $\ln(i) = i\frac{\pi}{2}$.
Esempio Pratico 3: Un caso generico
Calcoliamo $\ln(1+i)$.
- Forma esponenziale:
- Modulo $\rho = \sqrt{2}$.
- Angolo $\theta = \pi/4$ (45°).
- $1+i = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}}$.
- Applichiamo la formula:$$\ln(1+i) = \ln(\sqrt{2}) + i\frac{\pi}{4}$$(Sapendo che $\ln\sqrt{2} = \frac{1}{2}\ln 2$).
Risultato: $\frac{1}{2}\ln 2 + i\frac{\pi}{4}$.
Trafiletto Storico
La natura “multivalente” del logaritmo (quell’infinito $+2k\pi$) creò non pochi problemi ai matematici del XVIII secolo. Fu Bernhard Riemann (1826–1866) a risolvere brillantemente il problema geometrico. Egli immaginò che il dominio del logaritmo non fosse un semplice piano piatto, ma una sorta di scala a chiocciola infinita (oggi chiamate Superfici di Riemann). Ogni “giro” della scala corrisponde a un diverso valore di $k$, permettendo alla funzione di diventare continua su questa superficie complessa.
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