LA LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO

La legge di annullamento del prodotto è una delle regole più semplici ma più importanti di tutta la matematica.

Questa regola afferma che quando abbiamo un prodotto di elementi, ad esempio:

$$ A \cdot B \cdot C \\ \ \\ \ \\ \text{$A,B,C$ sono i fattori } $$

Questo prodotto vale zero se si annulla almeno uno dei fattori presenti.

$$ A \cdot B \cdot C = 0 \to A= 0 \lor B=0 \lor C=0 $$

Il prodotto tra gli elementi A B e C vale zero se A vale zero oppure (∨) B vale zero oppure (∨) C vale zero.

Consideriamo ad esempio il seguente prodotto di elementi.

$$ A \cdot B \cdot C $$

Quando questo prodotto vale zero?

Certamente se il primo fattore A vale zero, infatti:

$$ 0 \cdot B \cdot C = 0 $$

Oppure potrebbe valere zero se il secondo fattore B vale zero, infatti:

$$ A \cdot 0 \cdot C = 0 $$

Infine potrebbe valere zero se il terzo fattore C vale zero, infatti:

$$ A \cdot B \cdot 0 = 0 $$

In definitiva possiamo affermare che il prodotto di questi tre elementi vale zero se vale zero almeno uno di questi tre elementi.

In linguaggio matematico traduciamo questa affermazione così:

$$ A \cdot B \cdot C = 0 \to A= 0 \lor B=0 \lor C=0 $$

LEGGE DI ANNULLAMENTO E EQUAZIONI FATTORIZZATE

Consideriamo il caso in cui tutti i fattori presenti dipendono da una certa incognita x.

Rifacendoci al caso di prima con tre fattori:

$$ A \cdot B \cdot C = 0 $$

Possiamo anche riscriverla come:

$$ A(x) \cdot B(x) \cdot C (x) = 0 $$

Dunque se applichiamo le legge di annullamento del prodotto possiamo imporre ognuno dei tre fattori uguale a zero:

$$ A(x)=0 \lor B(x) = 0 \lor C(x)= 0 $$

Ovviamente in questo caso dobbiamo risolvere equazioni di vario genere.

Facciamo qualche esempio preliminare per schiarire le idee:

ESEMPI DI LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO

Cominciamo con qualche esempio semplice di natura polinomiale, dove l’equazione si trova già nella forma fattorizzata con polinomi di primo grado.

ESEMPIO 1 – LEGGE DI ANNULAMENTO DEL PRODOTTO

$$ x(x-1)= 0 $$

Sul lato sinistro abbiamo il prodotto di due fattori di primo grado,

Applichiamo la legge di annullamento del prodotto e imponiamo uguali a zero questi fattori.

In questo modo ricaviamo due  equazioni di primo grado:

$$ x=0 \\ x-1= 0 \to x = 1 $$

ESEMPIO 2 – EQUAZIONI FATTORIZZATE

$$ (2x+1=(3x-2)(2-x)= 0 $$

Sul lato sinistro abbiamo il prodotto di tre elementi che dipendono dall’incognita x che si agguagliano a zero.

Applichiamo la legge di annullamento del prodotto e imponiamo ogni fattore uguale a zero e risolviamo tre equazioni di primo grado:

$$ \begin{array}{c} 2x+1=0 &\to& 2x= -1 &\to& x= -\frac{1}{2} \\ 3x-2=0 &\to& 3x= 2 &\to& x= \frac{2}{3} \\ 2-x=0 &\to& -x=2 &\to& x= -2 \end{array}$$

RECUPERA LE BASI DI MATEMATICA!

Comincia un il tuo viaggio alla scoperta della matematica partendo da zero.

LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO E SCOMPOSIZIONE

Per poter risolvere equazioni con la legge di annullamento del prodotto molto spesso si renda necessaria la scomposizione di polinomi.

Vediamo alcuni esempi.

ESEMPIO 1 – LEGGE DI ANNULLAMENTO E SCOMPOSIZIONE

$$ x^2-x=0 $$

Ci troviamo di fronte ad una equazione di secondo grado.

Raccogliamo a fattor comune la x:

$$ x(x-1)= 0 $$

Ora applichiamo la legge di annullamento del prodotto e studiamo ogni fattore di primo grado uguale a zero:

$$ x=0 \\ x-1=0 \to x = 1 $$

ESEMPIO 2 – LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO

Vediamo il seguente testo che riporta un’equazione di secondo grado.

$$ x^2-4=0 $$

A sinistra abbiamo una differenza di quadrati:

$$ (x+2)(x-2)= 0 $$

Ora applichiamo la legge di annullamento del prodotto studiando ogni fattore di primo grado uguale a zero:

$$ \begin{array}{c} x+2=0 &\to& x=-2 \\ x-2=0 &\to& x=+2 \end{array} $$

Soluzione che possiamo anche scrivere così:

$$ x= \pm2 $$

ESEMPIO 3 – LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO

Vediamo un altro esempio

$$ 4x^2-12x+9=0 $$

Il testo è certamente un’equazione di secondo grado.

Scomponiamo il lato di sinistra come quadrato di binomio:

$$ (4x-3)^2= 0 $$

Ora applichiamo la legge di annullamento del prodotto studiando la base del quadrato uguale a zero:

$$ 4x-3= 0 \to 4x= 3 \to x = \frac{3}{4} $$

ESEMPIO 4 – LEGGE DI ANNULLAMENTO E FATTORIZZAZIONE

$$ x^3-x^2-6x=0 $$

Ci troviamo di fronte ad un’equazione di terzo grado.

Per prima cosa raccogliamo la x a fattor comune:

$$ x(x^2-x-6)=0 $$

Dentro la parentesi abbiamo un trinomio speciale di prodotto pari a –6 e somma pari a +1.

$$ x(x-3)(x+2)=0 $$

Adesso che abbiamo tutti fattori di primo grado applichiamo la legge di annullamento del prodotto imponendo questi tre fattori di primo grado uguali a zero:

$$ \begin{array}{c} x=0 \\ x-3=0 &\to& x= 3 \\ x+2= 0 &\to& x = -2 \end{array} $$

ESEMPIO 5 – LEGGE DI ANNULLAMENTO E SCOMPOSIZIONI

$$ x^3-3x^2+2x-6=0 $$

Si tratta chiaramente di una equazione di terzo grado.

Sul lato sinistro possiamo effettuare un raccoglimento a fattor parziale:

$$ x^2(x-3) +2(x-3) = 0 \\ (x-3)(x^2+2)= 0 $$

Applichiamo quindi  legge di annullamento del prodotto e imponiamo  i tre fattori di primo grado uguali a zero.

La prima è una banale è equazione di primo grado:

$$ x-3= 0 \to x = 3 $$

Imponendo il secondo fattore uguale a zero abbiamo una equazione pura di secondo grado:

$$ x^2+2= 0 \to \not \exists x \in \mathbb{R} $$

Tale equazione risulta impossibile nei numeri reali poiché una somma di quadrati è sempre maggiore di zero quindi non può annullarsi:

Attenzione che se operiamo nel campo complesso questa equazione da due soluzioni immaginarie:

$$ x^2+2 = 0 \to (x+2i)(x-2i) \to x = \pm 2i $$

ESEMPIO 6 – LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO

Consideriamo il seguente testo

$$ x^3-3x^2+3x-1= 0 $$

Leggiamo  un’equazione di terzo grado.

Scomponiamo il cubo di binomio sulla sinistra e applichiamo  legge di annullamento del prodotto imponendo la base del cubo uguale a zero.

$$ (x-1)^3 = 0 $$

Un cubo vale zero quado la base vale zero.

$$ x-1= 0 \to x= 1 $$

ESEMPIO 7 – LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO

Consideriamo la seguente equazione di terzo grado

$$ x^3-1= 0 $$

A sinistra riconosciamo una differenza di cubi che possiamo scomporre in un binomio per il falso quadrato

$$ (x-1)(x^2+x+1)= 0 $$

Ora applichiamo la solita legge di annullamento del prodotto imponendo i due fattori uguali a zero

$$ \begin{array}{c} x-1=0 &\to& x= 1 \\ x^2+x+1 =0 &\to& \not \exists x \in \mathbb{R} \end{array} $$

La seconda equazione è impossibile nei numeri reali poiché il falso quadrato è sempre positivo.

ESEMPIO 8 – LEGGE DI ANNULLAMENTO E FATTORIZZAZIONE

Ripartiamo dal seguente testo

$$ x^3-6x^2+11x-6 =0 $$

Abbiamo un’equazione di terzo grado dove possiamo applicare la scomposizione con Ruffini.

Dobbiamo cercare se tra i divisori del 6:

$$ \pm 1 \quad \pm 2 \quad \pm 3 \quad \pm 6 $$

 vi è qualcuno che possa annullare il polinomio:

$$ P(x)= x^3-6x^2+11x-6 $$

In questo caso siamo fortunati poiché il fattore annullante è +1, infatti:

$$ P(1) = 1^3-6 \cdot 1^2 +11 \cdot 1 -6 =0 $$

Il polinomio è dunque perfettamente divisibile per (x–1)

Quindi proseguiamo con la divisione con Ruffini:

$$ (x^3-6x^2+11x-6) \div (x-1) $$

Facciamo la tabella della divisione con Ruffini:

Il quoziente della divisione con resto zero è:

$$ Q(x) = x^2-5x+6 \quad R(x) = 0 $$

Dunque l’equazione :

$$ x^3-6x^2+11x-6= 0 $$

Può essere riscritta in modo fattorizzato come:

$$ (x-1)(x^2-5x+6) =0 $$

Possiamo ancora scomporre il secondo polinomio di secondo grado come un trinomio speciale:

$$ (x-1)(x-2)( x-3)= 0 $$

Applichiamo la legge di annullamento del prodotto e risolviamo tre equazioni di primo grado:

$$ \begin{array}{c} x-1=0 &\to& x= 1 \\ x-2=0 &\to& x= 2 \\ x-3=0 &\to& x= 3 \end{array} $$

LEGGE DI ANNULLAMENTO E FATTORIZZAZIONE CON SOSTITUZIONE

Possiamo riconoscere il  concetto di legge di annullamento del prodotto  anche in equazioni dove  fattorizzazione è valida anche per equazioni non polinomiali

Ci riferiamo in particolare ad equazioni:

• Irrazionali
• In valore assoluto o modulo
• Esponenziali
• Logaritmiche
• goniometriche

Vediamo alcuni esempi.

ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO CON  IRRAZIONALI

Consideriamo la seguente equazione irrazionale:

$$ x = 4 \sqrt{x} +3 $$

Ora facciamo la seguente sostituzione:

$$ \sqrt{x} = t $$

Riscriviamo dunque l’equazione come segue:

$$ t^2= 4t-3 =0 $$

Si tratta ora di risolvere un’equazione di secondo grado, quindi spostiamo tutto a sinistra:

$$ t^2-4t+3= 0 $$

Riconosciamo sulla sinistra un trinomio speciale di secondo grado:

$$ (t-3)(t-1) = 0 $$

Applichiamo ora l’annullamento del prodotto e risolviamo due equazioni di primo grado in t, da cui poi otteniamo due equazioni irrazionali in x:

$$\begin{array} t-3=0 &\to& t=3 &\to& \sqrt{x}= 3 &\to& x=9 \\ t-1=0 &\to& t=1 &\to& \sqrt{x}= 1 &\to& x=1 \end{array} $$

COMINCIA IL TUO PERCORSO MATEMATICO

Comincia un il tuo viaggio alla scoperta della matematica partendo da zero.

Un percorso che parte dai numeri, monomi e polinomi, passando per equazioni, studi di funzione, derivate ed integrali.

ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO CON IL VALORE ASSOLUTO

Consideriamo la seguente equazione in modulo o valore assoluto:

$$ x^2 +2|x|= 8 $$

Sostituiamo il valore assoluto di x con la t:

$$ |x|= t $$

Ricordiamo che scrivere il quadrato di x equivale a scrivere nei reali il quadrato del modulo di x:

$$ x^2 = |x|^2 = t^2 $$

Dunque possiamo scrivere l’equazione come segue:

$$ t^2+2t= 8 $$

Si tratta ora di risolvere un’equazione di secondo grado, quindi spostiamo tutto a sinistra:

$$ t^2+2t-8=0 $$

Riconosciamo sulla sinistra un trinomio speciale di secondo grado:

$$ (t+4)(t-2) =0 $$

Applichiamo ora l’annullamento del prodotto e risolviamo due equazioni di primo grado in t, da cui poi otteniamo due equazioni in modulo o valore assoluto.

$$ \begin{array} t+4=0 &\to& t=-4 &\to& |x|= -4 &\to& \not \exists x \in \mathbb{R} \\ t-2=0 &\to& t=2 &\to& |x|= 2 &\to& x = \pm 2 \end{array}$$

Come si nota la prima equazione è impossibile poichè un modulo non può essere negativo!

ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO CON  ESPONENZIALI

Consideriamo la seguente equazione esponenziale:

$$ e^{2x}- 3e^x-4 =0 $$

Ora facciamo la seguente sostituzione:

$$ e^x = t $$

Otteniamo un’equazione di secondo grado in t:

$$ t^2-3t-4 = 0 $$

Riconosciamo sulla sinistra un trinomio speciale di secondo grado:

$$ (t-4)(t+1) = 0 $$

Applichiamo ora l’annullamento del prodotto e risolviamo due equazioni di primo gradoin t, da cui poi otteniamo due equazioni esponenziali.

$$ \begin{array} t-4=0 &\to& t=4 &\to& e^x= -4 x= \ln 4 = 2 \ln 2 \\ t+1=0 &\to& t=-1 &\to& e^x= -1 &\to& \not \exists x \in \mathbb{R} \end{array} $$

Come si nota la seconda equazione è impossibile poichè un esponenziale non può essere negativo!

ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO CON LOGARITMI

Consideriamo la seguente equazione logaritmica:

$$ \ln^2 x – 5 \ln x +6 = 0 $$

Ora facciamo la seguente sostituzione:

$$ \ln x = t $$

Possiamo dunque riscrivere il nostro testo come un’equazione di secondo grado:

$$ t^2-5t+6 =0 $$

Riconosciamo sulla sinistra un trinomio speciale di secondo grado:

$$ (t-2)(t-3) = 0 $$

Applichiamo ora l’annullamento del prodotto e risolviamo due equazioni di primo grado in t, da cui poi otteniamo due equazioni logaritmiche.

ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO CON DUE VARIABILI

La legge di annullamento del prodotto può estendersi al caso di più variabili.

In particolare quando ci riferiamo a due variabili x e y, possiamo trovarci in un generico caso del tipo:

$$ f_1(x,y) \cdot f_2 (x,y) \cdot \cdots \cdot f_n(x,y) = 0 $$

Dove i fattori presenti sul lato sinistra dipendono appunto dalle due variabili x e y.

Allo stesso modo di quanto visto per il caso con una variabile imponiamo i fattori uguali a zero.

$$ f_1(x,y)= 0 \quad f_2 (x,y)= 0 \quad \dots \quad f_n(x,y) = 0 $$

Così facendo possiamo rappresentare nel sistema cartesiano  gli zeri del polinomio  come figure geometriche come ad esempio rette, parabole, ellissi, circonferenza, iperboli, etc.

Proviamo a fare qualche basico esempio.

ESEMPIO 1 – ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO IN DUE VARIABILI

L’esempio più primitivo di come la legge di annullamento del prodotto può essere rappresentato nel sistema cartesiano è la stessa costruzione del sistea cartesiano:

$$ xy =0 $$

Senza nessuno sforzi possiamo ricavare le soluzioni che sono proprio i due assi cartesiani

$$ x= 0 \lor y = 0 $$

ESEMPIO 2 – ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO IN DUE VARIABILI

$$ x^2y-y-x^2+1= 0 $$

Facciamo un raccoglimento parziale:

$$ y(x^2-1) -1(x^2-1) =0 \\ (x^2-1)(y-1) = 0 $$

Ora possiamo riconoscere una differenza di quadrati nel primo fattore:

$$ (x+1)(x-1((y-1)= 0 $$

Applicando l’annullamento del prodotto troviamo che:

$$ \begin{array}{c} x \pm 1 = 0 &\to& x= \mp 1 \\ y-1=0 &\to& y=1 \end{array} $$

Come interpretare tutto ciò dal punto di vista grafico?

Cominciamo con il rappresentare il polinomio:

Analizzare gli zeri del polinomio significa vedere cosa si forma nell’intersezione tra il polinomio e il piano z=0.

Nel nostro caso specifico, grazie alla fattorizzazione del polinomio vediamo queste intersezioni nelle rette:

$$ x = \pm 1 \quad \text{e} \quad y= 1 $$

ESEMPIO 3 – ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO IN DUE VARIABILI

Proponiamo un’altra equazione fattorizzata in cui è possibile applicare la legge di annullamento del prodotto con due variabili:

$$ xz^2y-x^3+y^3-xy^2-y+x =0 $$

Facciamo un raccoglimento parziale a coppie:

$$ x^2(y-x) +y^2 (y-x) -1(y-x) =0 \\ (y-x)(x^2+y^2-1)= 0 $$

Applicando l’annullamento del prodotto sul primo fattore:

$$ y-x=0 \to y= x $$

Si tratta di una retta ed in particolare della bisettrice del primo e del quadrante

Passando invece al secondo fattore:

$$ x^2+y^2-1=0 $$

Si tratta di una circonferenza con centro nell’origine degli assi e raggio pari a 1.

Possiamo riscriverla anche così:

$$ x^2+y^2 = 1 \\ (x-0)^2 +(y-0)^2 = 1 $$

Possiamo anche in questo caso rappresentare il polinomio e le intersezioni con il piano di livello zero:

HAI QUALCHE DOMANDA???

Se hai qualche domanda scrivila nei commenti

RISCOPRI LA MATEMATICA

Prepara al meglio il tuo esame, ricostruisci le parti mancanti della matematica.

Comincia un viaggio indimenticabile ed unico che affronta tutte le tappe principali in un percorso che cambierà per sempre il tuo modo di pensare alla matematica.

L’ARTICOLO TI è PIACIUTO ?

Se questo contenuto ti è piaciuto e vorresti che anche altri utenti possano goderne di questo ed altri ancora sostieni il progetto offrendomi un semplice caffè virtuale

Questo semplice gesto per me significa moltissimo e può essere un forte impulso per lo sviluppo di tutto il progetto di divulgazione matematica

Visita il canale YouTube!