GLI INTEGRALI – INTRODUZIONE

In questo articolo diamo una definizione di integrale di funzione ad una variabile reale chiarendo sia le scritture matematiche e dandone una chiara interpretazione geometrica.

DEFINIZIONE DI INTEGRALE E SCRITTURA

Nell’ambito delle funzioni ad una variabile reale gli integrali indicano l’area compresa tra una certa funzione e l’asse delle x calcolata da un punto a ad un punto b.

Simbolicamente li indichiamo come “l’integrale che va da a a b sulla funzione f(x) in de x

$$ \large \text{AREA}=\int_a^b f(x)\ dx \\ \ \\ \begin{array}{l} \text{$a,b$ sono gli stremi di integrazione} \\ \text{$\int$ è il simbolo di integrale (sommatoria infinita)} \\ \text{$f(x)$ è l funzione sulla quale è calcolato l’integrale} \\ \text{$dx$ è un pezzo infinitesimo} \end{array}$$

Esso è intesa come una sommatoria di infiniti segmenti che hanno per base una quantità infinitesima dx e per altezza il valore della funzione f(x)

NASCITA DEI RAGIONAMENTI SUGLI INTEGRALI

Gli integrali nascono nell’ambito della dalla necessità di calcolare il valore dello spazio percorso da un oggetto quando si conosce la sua velocità.

INTEGRALE SU UNA FUNZIONE COSTANTE

Quando una funzione è costante il calcolo dell’area sottesa ad una funzione diventa una cosa banale.

Infatti in questa situazione basta semplicemente calcolare l’area di un rettangolo che si ottiene come prodotto della base e dell’altezza.

$$ A = \text{base $\cdot$ altezza}$$

In questo caso la base è data dagli estremi di integrazione (b–a) mentre l’altezza è il valore costante della funzione.

Supponiamo ad esempio di avere la funzione costante:

$$ f(x)=3$$

 e di voler calcolare l’area tra x=1 e x=4

Il calcolo è molto semplice e dovremmo semplicemente fare:

$$ A = \text{base $\cdot$ altezza}=(4-1)\cdot 3=9$$

Detto in termini matematici abbiamo 

$$ A=\int_1^4 f(x)\ dx=9$$

INTEGRALE SU UNA FUNZIONE NON COSTANTE

Il problema del calcolo degli integrali riguarda le funzioni che non sono costanti

Osserviamo ad esempio la seguente figura.

Come facciamo a calcolarne l’area conoscendo l’equazione della funzione.

$$\text{AREA}=\int_a^b f(x)\ dx=???$$

IL METODO DEI RETTANGOLI

Certamente chi ha cominciato a fare i ragionamenti sugli integrali ha proceduto per tentativi

Uno di questi tentativi consiste nel metodo dei rettangoli.

Si suddivide l’intervallo (a,b) in un certo numero di parti (∆x1, ∆x2, … ∆xn) che sono le basi dei rettangoli

Poi come altezza si può considerare il valore che la funzione assume nel punto medio 

Supponiamo di dividere l’area in 4 rettangoli

L’altezza di ogni rettangolo è il valore della funzione nel punto medio di ogni intervallo che chiamiamo semplicemente x1, x2, .., xn

Cui corrispondono i valori f(x1) f(x2) f(xn)

A questo punto l’area della figura (integrale) può essere approssimata come la somma delle aree dei quattro rettangoli

$$\text{AREA}=\int_a^b f(x)\ dx\approx A_1+A_2+A_3+A_4$$

Dove ogni area è calcolata come base per altezza

$$=f(x_1)\cdot\Delta x_1+f(x_2)\cdot\Delta x_2+f(x_3)\cdot\Delta x_3+f(x_4)\cdot\Delta x_4$$

Possiamo riassume questo calcolo come la sommatoria delle aree da 1 fino a 4

$$\text{AREA}=\int_a^b f(x)\ dx\approx \sum_{k=1}^4 f(x_k)\cdot\Delta x_k$$

Supponendo che tutti questi rettangoli abbiamo una stessa base ∆x

Scriviamo:

$$\text{AREA}=\int_a^b f(x)\ dx\approx \sum_{k=1}^4 f(x_k)\cdot\Delta x$$

Raccogliendo a fattor comune il ∆x ci resta solo la sommatoria dei valori delle funzioni nei punti centrali

$$ \sum_{k=1}^4 f(x_k)\cdot\Delta x=\left(f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+f(x_4)\right)\cdot\Delta x$$

VERSO IL CONCETTO MODERNO DI INTEGRALE

I matematici che si occuparono della questione degli integrali notarono una cosa interessante.

L’area diventa sempre più precisa quando il numero di suddivisioni diventa sempre più grande.

Di conseguenza avremo la base sempre più piccola.

Da questa figura possiamo approssimare meglio

Quello che fanno è dunque andare ad unire la nozione di limite che era in via di forte sviluppo con la nozione di area

In particolare l’area precisa si ha quando facciamo tendere a zero la quantità ∆x base dei rettangolini

In questo modo abbiamo una sommatoria di infiniti rettangolini di base infinitesima.

$$\text{AREA}=\lim_{\Delta x\to0}\sum_{k=1}^\infty f(x_k)\cdot\Delta x$$

Tali rettangolini sono talmente sottili da essere dei segmenti che toccano tutti i punti della funzione

Qualcuno dunque probabilmente Leibnitz ha pensato bene di introdurre una simbologia di questa nuova nozione: integrale.

Dal momento che si trattava di una sommatoria molto lunga il simbolo migliore che si poteva usare è una esse allungata che è il moderno simbolo dell’integrale

$${\color{red}{\int}}\quad \text{simbolo di integrale, una sommatoria molto grande:infinita}$$

Gli estremi dell’integrale dell’intervallo (a,b) vengono messi in basso e in alto al simbolo di integrale

$$\int_{\color{red}{a}}^{\color{red}{b}}\quad\text{$a,b$ sono gli estremi di integrazione}$$

La sommatoria si applica a tutti i punti della funzione

$$\int_a^b{\color{red}{f(x)}}\quad\text{$f(x)$ è la funzione su cui vengono calcolati i valori}$$

Tali valori sono l’altezza di un triangolo di base infinitesima dx

$$ \int_a^b f(x)\ {\color{red}{dx}}\quad \text{$dx$ è la base infinitesima degli infiniti rettangolini}$$

In definitiva abbiamo la nostra moderna simbologia

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CLASSIFICAZIONE DEGLI INTEGRALI

In senso moderno gli integrali sono classificati in tre categorie:

• indefiniti
• Definiti
• Impropri

INTEGRALE INDEFINITO E FUNZIONE PRIMITIVA

l’integrale indefinito è l’insieme di tutte le funzioni primitive.

Una funzione primitiva è una funzione  che esprime l’andamento dell’area che si forma tra la funzione e l’asse delle x a partire da un punto (ad esempio x0) fino ad un generico punto x della funzione

Consideriamo ad esempio la funzione costante per comodità di calcolo

$$ f(x)=3$$

Vogliamo costruire una funzione che esprima l’area compresa tra 0 e un generico valore x possiamo tranquillamente usare la retta:

$$ F(x)=3x$$

Infatti l’area in x=0 deve valere zero, mentre ogni volta che la x aumenta di una unità l’area cresce di 3 unità

Matematicamente possiamo anche scrivere che:

$$ F_0(x)=\int_0^x f(t)\ dt=3x$$

La funzione F(x) esprime l’area che va da zero ad x sulla funzione f(t) dove appunto la variabile t varia da zero ad x

È chiaro che se volessimo una primitiva che esprima l’area da 1 fino ad un generico punto x della funzione ci serve la retta y=3x–3

Chiamiamola con un nome simile

$$ F_1(x)=\int_1^x f(t)\ dt=3x-3$$

Dunque sulla base del punto x₀ che stabiliamo come punto di partenza possiamo avere potenzialmente infinite primitive

Tutte queste primitive differiscono di una costante.

L’insieme di tutte le primitive di una funzione prendono il nome di integrale indefinito che si definisce semplicemente come l’integrale sulla funzione f(x) in de x

$$\text{integrale indefinito}=\int f(x)\ dx$$

Per costruire l’integrale indefinito possiamo considerare una primitiva F(x) fissata come punto di riferimento ed aggiungere una generica costante c.

$$\int f(x)\ dx=F(x)+c$$

F(x) è la funzione primitiva base che calcola l’area da uno specifico punto x₀.

$$F(x)=\int_{x_0}^x f(t)\ dt$$

La derivata prima della funzione primitiva vale f(x) 

$$\left(F(x)\right)’=f(x)$$

Questo risultato è garantito dal teorema fondamentale del calcolo integrale

Dunque anche la derivata prima di tutte le primitive, e quindi dell’integrale indefinito vale f(x) 

$$\left(\int f(x)\ dx\right)’=\left(F(x)+c\right)’=\left(F(x)\right)’+c’=f(x)$$

Per calcolare l’integrale indefinito di una funzione servono le regole di integrazione.

INTEGRALE DEFINITO 

L’integrale definito è un’area en definito dove vengono chiariti in maniera univoca gli estremi di integrazione

$$\int_a^b f(x)\ dx$$

Integrale che va dal punto a al punto b sulla funzione f(x) in de x

Per calcolare l’integrale definito facciamo la differenza tra due primitive qualsiasi calcolate in b e in a

$$\int_a^b f(x)\ dx=F(b)-F(a)$$

Quindi risulta importante applicare prima le regole di integrazione per trovare l’integrale indefinito

INTEGRALI IMPROPRI

Usiamo gli integrali impropri per calcolare l’area tra due punti di cui almeno uno risulta in un punto di accumulazione del dominio in cui la funzione non risulta definita.

In questo caso la procedura impone l’applicazione del limite verso questo punto.

Ad esempio se vogliamo calcolare l’area sulla funzione iperbole 1/x che va da 0 fino a 3 usiamo l’integrale improprio

$$\int_0^3 \frac{1}{x}\ dx=F(3)-\lim_{x\to0}F(x)$$

MODALITA’ DI CALCOLO DEGLI INTEGRALI

Le principali modalità di calcolo degli integrali sono:

• Integrazione Immediata: Si basa sul riconoscimento diretto delle derivate fondamentali (potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni goniometriche) lette al contrario.(Vedi anche integrali di funzioni composte)
• Integrazione per Sostituzione: È l’inverso della regola della catena (derivazione di funzioni composte). Si usa quando l’integrando ha la forma $f(g(x)) \cdot g'(x)$, sostituendo una parte della funzione con una nuova variabile ($u = g(x)$) per semplificare l’espressione.
• Integrazione per Parti: È l’inverso della regola di derivazione del prodotto. È cruciale quando si integrano prodotti di funzioni di natura diversa (es. $x \cdot e^x$ o $x \cdot \ln(x)$), utilizzando la formula $\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) – \int f'(x)g(x)dx$.
• Integrazione di Funzioni Razionali (Metodo dei Fratti Semplici): Si usa quando l’integrando è un rapporto di polinomi. È un metodo algebrico che scompone la frazione complessa in una somma di frazioni più semplici (i “fratti semplici”), che sono poi facilmente integrabili (spesso come logaritmi o arcotangenti).

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