TEOREMA DI LAGRANGE

TEOREMA DI LAGRANGE

il teorema di Lagrange è una generalizzazione del teoreme di Rolle

Il teorema di Lagrange afferma che quando una funzione ad una variabile è continua e derivabile in un intervallo compatto (chiuso e limitato), allora ammette almeno un punto in cui la derivata prima è pari al rapporto incrementale che c’è tra i punti estremi dell’intervallo.

Il teorema può essere considerato come un’espansione del teorema di Rolle formulato quasi un secolo prima.

Da un punto di vista geometrico tale derivata è pari alla pendenza della retta che congiunge gli estremi.

Prima di addentrarci nel teorema vediamo insieme chi era Lagrange.

TEOREMA 

IPOTESI

Continua nell’intervallo [a,b] chiuso e limitato (compatto)

Derivabile in (a,b) intervallo aperto e limitato

TESI

Esiste un punto c ∈ (a,b) tale che

OSSERVAZIONE 1- INTERPRETAZIONE GEOMETRICA

Nel punto c di cui si dimostra l’esistenza la derivata prima è pari al rapporto incrementale tra i punti estremi dell’intervallo.

Sapendo che la derivata prima esprime il coefficiente angolare della retta tangente al punto nel punto c tale coefficiente angolare è pari alla pendenza della retta passante per i punti estremi dell’intervallo.

La retta tangente è dunque orizzontale e la sua equazione è y = f(c).

Nota bene:

La retta tangente nel punto c è parallela alla retta passante per i punti A(a, f(a)) e B(b, f(b).

Essa può essere ottenuta come una traslazione di questa ultima retta fino al punto di tangenza (c) alla funzione.

OSSERVAZIONE 2-POSSIBILE ESISTENZA PIU’ PUNTI C

Attenzione che il teorema afferma l’esistenza, sotto opportune ipotesi, di un punto c tale che ha derivata nulla.

Questo punto potrebbe anche essere più di uno.

Si veda ad esempio il grafico sottostante:

OSSERVAZIONE TRE – ESPANSIONE DEL TEOREMA DI ROLLE

Il teorema di Lagrange è un’espansione del teorema di Rolle formulato nel 1691.

Il teorema di Rolle può essere visto come un caso particolare del Teorema di Lagrange.

DIMOSTRAZIONE:

Partendo dalle suddette ipotesi consideriamo la funzione:

• F(x) è continua in [a,b], perché somma di funzioni continue in [a,b]
• F(x) è derivabile in (a,b), perché somma di funzioni derivabili in (a,b)

Determiniamo ora k di modo che F(x) soddisfi la terza ipotesi del teorema di Rolle, cioè si abbia che F(a) = F(b).

Avremo dunque che:

Sostituiamo dunque nella funzione:

Poiché F(x) soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle, esiste almeno un punto c ∈ (a,b) tale che 

Calcoliamo ora la derivata di F(x),

Nel punto c avremo dunque che:

Otteniamo dunque la tesi, ovvero che nel punto c la derivata vale:

C.V.D.

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