CONICHE E MATRICI

In questo articolo vediamo come le equazione delle coniche possono essere rappresentate mediante le matrici.

L’equazione di una conica nel piano cartesiano è associata allo zero di un polinomio in x e y di secondo grado del tipo:

$$ \gamma: \quad ax^2+by^2+c+2dxy+2ex+2fy= 0 $$

La scrittura in forma matriciale di questa equazione è:

$$ \gamma: \quad \begin{pmatrix} x & y&1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a&d&e \\ d&b&f \\ e&f&c \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\y \\1 \end{pmatrix} = 0 $$

Se definiamo il x il vettore (x y 1) scritto in colonna:

$$ x= \begin{pmatrix} x\\y \\1 \end{pmatrix} $$

Allora il suo vettore trasposto è:

$$ x^T= \begin{pmatrix} x & y&1 \end{pmatrix} $$

Chiamiamo inoltre M la matrice biquadratica simmetrica associata alla conica:

$$ M = \begin{pmatrix} a&d&e \\ d&b&f \\ e&f&c \end{pmatrix} $$

L’equazione matriciale in forma semplificata diventa dunque:

$$ \gamma: \quad x^T Mx = 0 $$

Introduciamo ora la sottomatrice quadrata di M 2×2 nord-ovest che chiamiamo M’.

$$ M’ = \begin{pmatrix} a&d \\ d&b \end{pmatrix} $$

Per capire guardando la matrice di che tipo di conica si tratta dobbiamo prima guardare il determinante della matrice M ed eventualmente quello di M’.

Se il determinante della matrice M è diverso da zero si tratta di una conica non degenere.

Per classificarla guardiamo ora il determinante della matrice M’ e troviamo:

• Ellisse se il determinante di M’ è positivo
• Iperbole se il determinante di M’ è negativo
• Parabola se il determinante di M’ è nullo

Riassumiamo il tutto con lo schema sottostante.

Prima di vedere i primi esempi molto semplici andiamo a fare una breve introduzione delle coniche intese come intersezioni tra un piano ed un cono a due falde.

LE CONICHE NELLA STORIA

Le coniche furono studiate sin dai tempi degli antichi greci e ne troviamo traccia ad esempio nel libro XI degli Elementi di geometria di Euclide (IV-III sec. a.C.)

Tuttavia il primo matematico che tratta di questo argomento in maniera compiuta trattandola nel piano è Apollonio di Perga (262-190 a.C.).

Le coniche sono inizialmente studiate come le intersezioni di un piano con un cono a due falde e Apollonio di Perga riuscì a dimostrare che da un unico cono possiamo generare tuttele coniche suddivide in:

• Circonferenza
• Parabola 
• Ellisse
• Iperbole

In particolare  consideriamo un cono a due falde regolare dove 𝛼 è l’angolo formato dall’asse centrale con l’apotema del cono.

Prendiamo inoltre un piano con inclinazione pari all’angolo 𝛽 rispetto all’asse.

𝛼 e 𝛽 li consideriamo entrambi compresi tra 0 e 90 gradi.

PIANO NON PASSANTE PER IL CENTRO – COMINCHE NON DEGENERI

Quando tale piano non passa per il centro abbiamo una delle classiche coniche.

In particolare quando il piano è perfettamente perpendicolare all’asse, ovvero 𝛽 vale 90 gradi troviamo una circonferenza.

Quando l’angolo 𝛽 è compreso tra 90 gradi e 𝛼 si crea un’ellisse.

Nel momento in cui l’angolo 𝛽 coincide con 𝛼 si forma una parabola.

In questi tre casi il piano trapassa solamente una delle due falde del cono.

Mentre quando l’angolo 𝛽 è compreso tra 0 gradi e 𝛼 il piano attraversa èentrambe le falde e si forma l’iperbole.

PIANO  PASSANTE PER IL CENTRO – CONICHE DEGENERI

Se il piano passa per l’origine si formano coniche degeneri, che chiamiamo retta o punto.

In particolare quando l’angolo 𝛽 è compreso tra 𝛼 (escluso) e 90 gradi (incluso) abiamo un punto.

Si manifesta una sola retta quando 𝛽 coincide con 𝛼. (potremo anche parlare di due rette coincidenti)

Mentre si formano due rette distinte se 𝛽 è compreso tra 0 gradi (incluso) e 𝛼.

CONICHE E MATRICI:  PRIMI ESEMPI ELEMENTARI

Vediamo ora di analizzare qualche esempio elementare di studio di coniche usando le matrici.

Questi primi esempi riguardano coniche che sono già scritte nella loro forma canonica esattamente come vengono insegnate nelle scuole superiori.

IL CASO DELL’ELLISSE

Consideriamo il semplice caso di una ellisse di equazione:

$$ 4x^2+9y^2-36=0 $$

Isolando a destra la costante 36 e dividendo ambo i membri dell’equazione per la stessa ricaviamo subito la forma canonica:

$$ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 $$

Si tratta certamente di un’ellisse con centro situato nell’origine e i due raggi a e b:

$$ a= 3 \quad b=2 $$

Restiamo sull’equazione implicita canonica di partenza:

$$ 4x^2+9y^2-36=0 $$

Dalla quale possiamo ricavare la matrice M

$$ M= \begin{pmatrix} 4&0&0 \\ 0&9&0 \\ 0&0&-6 \end{pmatrix} $$

Otteniamo il determinante della matrice M moltiplicando in modo semplice gli elementi lungo la diagonale principale.

$$ \det M = 4 \cdot 9 \cdot (-36)= -1.296 \ne 0 $$

Quello che ci interessa è che il determinante della matrice M risulti diverso da zero il che ci porta alla classificazione di una conica non degenere.

Ora per capire di che tipo di conica si tratta analizziamo la sottomatrice 2×2 nord-ovest M’

$$ M’ = \begin{pmatrix} 4&0 \\ 0&9 \end{pmatrix} $$

Anche in questo caso il determinante di M’ non è altro che il prodotto degli elementi lungo la diagonale principale:

$$ \det M’= 4 \cdot 9 = 36>0 $$

Essendo questo positivo classifichiamo la conica come un’ellisse

IL CASO DELL’IPERBOLE

Passiamo al caso dell’iperbole semplicemente cambiando un segno rispetto al precedente esempio:

$$ 4x^2-9y^2-36=0 $$

Isolando a destra la costante 36 e dividendo ambo i membri dell’equazione per la stessa ricaviamo subito la forma canonica:

$$ \frac{x^2}{9} – \frac{y^2}{4} = 1 $$

Si tratta certamente di un’iperbole con centro situato nell’origine e i due raggi a e b:

$$ a= 3 \quad b= 2 $$

Restiamo sull’equazione implicita canonica di partenza:

$$ 4x^2-9y^2-36=0 $$

Dalla quale possiamo ricavare la matrice M

$$ M= \begin{pmatrix} 4&0&0 \\ 0&-9&0 \\ 0&0&-6 \end{pmatrix} $$

Otteniamo il determinante della matrice M moltiplicando in modo semplice gli elementi lungo la diagonale principale.

$$ \det M = 4 \cdot (-9) \cdot (-36)= 1.296 \ne 0 $$

Quello che ci interessa è che il determinante della matrice M risulti diverso da zero il che ci porta alla classificazione di una conica non degenere.

Ora per capire di che tipo di conica si tratta analizziamo la sottomatrice 2×2 nord-ovest M’

$$ M’ = \begin{pmatrix} 4&0 \\ 0&-9 \end{pmatrix} $$

Anche in questo caso il determinante di M’ non è altro che il prodotto degli elementi lungo la diagonale principale:

$$ \det M’= 4 \cdot (-9) = -36<0 $$

Essendo questo negativo classifichiamo la conica come un’iperbole

IL CASO DELLA PARABOLA

Ora andiamo a considerare la più semplice equazione di una parabola, la funzione potenza

$$ y-x^2= 0 $$

Meglio conosciuta nella forma 

$$ y= x^2$$

È una parabola passante per il centro con una concavità rivolta verso l’alto

Restiamo sull’equazione implicita canonica di partenza:

$$ y-x^2$$

Dalla quale possiamo ricavare la matrice M

$$ M = \begin{pmatrix} -1&0&0 \\ 0&0&\frac{1}{2} \\ 0&\frac{1}{2}&0 \end{pmatrix} $$

Otteniamo il determinante della matrice M risulta applicando il metodo di Laplace sulla prima riga (colonna)  

$$ \det M = -1 \cdot \left| \begin{array}{c} 0& \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 \end{array} \right| = -1 \cdot \left(-\frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4} \ne 0 $$

Tale determinante risulta diverso da zero il che ci porta alla classificazione di una conica non degenere.

Ora per capire di che tipo di conica si tratta analizziamo la sottomatrice 2×2 nord-ovest M’

$$ M’ = \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&0 \end{pmatrix} $$

Il determinante di M’  risulta essere pari certamente a zero in quanto ha una riga tutta nulla, oppure applicando il classico metodo per le matrici 2×2:

$$ \det M’ = 1 \cdot 0 – 0 \cdot 0 = 0 $$

Essendo questo nullo classifichiamo la conica come una parabola.

CONICHE DEGENERI : IL CASO DELLE DUE RETTE

Prendiamo in considerazione la seguente equazione

$$ x^2-y^2= 0 $$

Sul lato sinistro scomponiamo la differenza di quadrati

$$ (x+y)(x-y)= 0 $$

Applicando la legge di annullamento del prodotto perveniamo alle due soluzioni 

$$ x+y= 0 \lor x-y=0 $$

Le soluzioni rappresentate nel piano cartesiano non sono altro che le bisettrici del primo e del terzo quadrante:

$$ y= \pm x $$

Trattasi dunque di conica degenere.

Analizziamo meglio l’equazione di partenza:

$$ x^2-y^2 = 0 $$

Dalla quale possiamo ricavare la matrice M

$$ M= \begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&-1&0 \\ 0&0&0 \end{pmatrix} $$

Otteniamo il determinante della matrice M risulta certamente nullo in quanto la matrice ha una riga completamente fatta di zeri

$$ \det M =0 $$

Dunque si tratta di una conica degenere individuata da rette.

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CONICHE E MATRICI: ESEMPI PIÙ CORPOSI

Ora che abbiamo visto il metodo generale per classificare le coniche tramite le matrici andiamo a fare qualche esempio più corposo.

Vedremo inoltre per ogni conica il modo di ricavare l’equazione in forma  canonica della stessa.

CONICHE E MATRICI – ESEMPIO DI ELLISSE

Data la seguente equazione:

$$ 2x^2+2y^2-1+2xy+6x= 0 $$

Stabilire di quale conica si tratta e ricavare la sua forma canonica.

Ricaviamo subito la matrice M associata alla conica è:

$$ M = \begin{pmatrix} 2&1&3 \\ 1&2&0 \\ 3&0&-1 \end{pmatrix} $$

Per calcolare il suo determinante utilizziamo ancora una volta il metodo di Laplace:

$$ \det M = 3 \cdot (0-6) -1 \cdot (4-1) = -18-3= -21 $$

Essendo il determinante diverso da zero classifichiamo la conica come non degenere.

Ora passiamo alla sottomatrice M’ 2×2 nord-ovest e calcoliamo il suo determinante

$$ M’ = \begin{pmatrix} 2&1 \\ 1&2 \end{pmatrix} \to \det M’ = 4-1= 3 >0 $$

Essendo il determinante di M’ maggiore di zero si tratta di una ellisse

PASSARE ALLA FORMA CANONICA DELL’ELLISSE

La domanda più ovvia a questo punto è come facciamo a scrivere l’equazione canonica di questa ellisse.

Vediamo dunque a livello teorico il metodo.

Precisiamo che questo metodo vale sia per l’ellisse che per l’iperbole.

Definiamo M e M’ rispettivamente le matrici associate alla conica:

$$ \begin{array}{l} \gamma:& \quad ax^2+by^2+c+2dxy+2ex+2fy= 0 \\ \ \\ & M = \begin{pmatrix} a&d&e \\ d&b&f \\ e&f&c \end{pmatrix} \quad M’ = \begin{pmatrix} a&d \\ d&b \end{pmatrix} \end{array} $$

Associamo inoltre alla matrice M’ la sua forma diagonalizzata che chiamiamo M’_D.

$$ M’_D = \begin{pmatrix} \color{red}{A}&0 \\ 0& \color{red}{B} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{red}{\lambda_1}&0 \\ 0& \color{red}{\lambda_2} \end{pmatrix} \\ \ \\ A= \lambda_1, B= \lambda_2 \quad \text{autovalori di $M’$} $$

Introduciamo la matrice diagonale  M_D  dove il terzo autovalore C=𝜆₃ incognito

$$ M_D = \begin{pmatrix} \color{red}{A}&0&0 \\ 0& \color{red}{B}&0 \\ 0&0&\color{blue}{C} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{red}{\lambda_1}&0&0 \\ 0& \color{red}{\lambda_2}&0 \\ 0&0& \color{blue}{\lambda_3} \end{pmatrix}

Siccome il determinante della matrice M è uguale al determinate di M_D 

$$ \det M_d = A \cdot B \cdot C = \det M $$

Possiamo facilmente ricavare il valore C dividendo il determinante di M per il prodotto tra gli autovalori A e B

$$ \color{blue}{C} = \frac{\det M}{A \cdot B} = \frac{\det M}{\det M’_D} $$

A questo punto abbiamo l’equazione canonica dell’ellisse (ma anche dell’iperbole) che risulta:

$$ \color{red}{A} X^2 + \color{red}{B}Y^2 + \color{blue}{C} = 0 $$

Ovviamente avremo una ellisse oppure una iperbole a seconda della concordanza o discordanza dei segni tra gli autovalori A e B:

$$ \begin{array}{l} A,B\ \text{concordi} &\to& \text{ELLISSE} \\ A,B\ \text{discordi} &\to& \text{IPERBOLE} \end{array} $$

FORMA CANONICA ELLISSE – APPLICAZIONE

Proseguiamo dunque con il determinare la forma canonica dell’ellisse del nostro esempio:

$$ 2x^2+2y^2-1+2xy+6x= 0 $$

Riportiamo le matrici M e M’

$$ M = \begin{pmatrix} 2&1&3 \\ 1&2&0 \\ 3&0&-1 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 2&1 \\ 1&2 \end{pmatrix} $$

Diagonalizziamo ora la matrice M’ cercando i suoi autovalori impostando l’equazione per annullare il polinomio caratteristico:

$$ \begin{array}{l} \det (M’- \lambda I) = 0 \\ \left| \begin{array}{c} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{array} \right| = 0 \\ (2-\lambda)^2-1=0 \\ (\lambda -1)^2-1 = 0 \\ (\lambda-2+1)(\lambda-2-1) = 0 \\ (\lambda-1)(\lambda-3)=0 \end{array} $$

Applicando la legge di annullamento del prodotto otteniamo i due autovalori 𝜆₁ e 𝜆₂:

$$ \begin{array} \lambda-1 = 0 &\to& \lambda_1= 1 \\ \lambda-3 = 0 &\to& \lambda_1= 3 \end{array} $$

Ora che abbiamo trovato i due autovalori scriviamo la matrice diagonale M’_D

$$ M’_D = \begin{pmatrix} \color{red}{1}&0 \\ 0& \color{red}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{red}{A}&0 \\ 0& \color{red}{B} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{red}{\lambda_1}&0 \\ 0& \color{red}{\lambda_2} \end{pmatrix} $$

Non ci resta ora che trovare il terzo autovalore C dalla matrice M_D

$$ M_D = \begin{pmatrix} \color{red}{1}&0&0 \\ 0& \color{red}{3}&0 \\ 0&0&\color{blue}{C} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{red}{A}&0&0 \\ 0& \color{red}{B}&0 \\ 0&0&\color{blue}{C} \end{pmatrix} $$

Sfruttiamo dunque la relazione per cui i determinanti delle matrici M e M_D sono uguali al prodotto tra i tre autovalori

$$ \det M_D = A \cdot B \cdot C = \det M $$

Da che ricaviamo il nostro terzo autovalore C

$$ \color{blue}{C} = \frac{\det M}{A \cdot B} = \frac{\det M}{\det M’_D} = \frac{-21}{1 \cdot 3} = -7 $$

A questo punto abbiamo la matrice M_D associata alla forma canonica:

$$ M_D = \begin{pmatrix} \color{red}{1}&0&0 \\ 0& \color{red}{3}&0 \\ 0&0&\color{blue}{-7} \end{pmatrix} $$

La forma canonica dell’ellisse risulta dunque:

$$ AX^2+BY^2+C = 0 \overset{\begin{cases} A=1 \\ B=3 \\ C=-7 \end{cases}}{\longrightarrow} X^2+3Y^2-7=0 $$

CONICHE E MATRICI – ESEMPIO DI IPERBOLE

Data la seguente equazione:

$$ 3x^2+3y^2+4+10xy-4x+4y=0 $$

Stabilire di quale conica si tratta e ricavare la sua forma canonica.

Ricaviamo subito la matrice M associata alla conica e calcoliamo il suo determinantesfruttando la prima riga

$$ M = \begin{pmatrix} 3&5&-2 \\ 5&3&2 \\ -2&2&4 \end{pmatrix} \\ \ \\ \begin{array} \det M =& 3 \cdot(12-4)-5 \cdot (20+4) -2 \cdot (10+6) \\ & 24-120-32 = -128 \ne 0 \end{array} $$

Essendo il determinante diverso da zero classifichiamo la conica come non degenere.

Ora passiamo alla sottomatrice M’ 2×2 nord-ovest e calcoliamo il suo determinante

$$ M’ = \begin{pmatrix} 3&5 \\ 5&3 \end{pmatrix} \\ \ \\ \det M’ = 9-25= -16 <0 \to \text{IPERBOLE} $$

Essendo il determinante di M’ minore di zero si tratta di una iperbole

FORMA CANONICA IPERBOLE – APPLICAZIONE

Proseguiamo dunque con il determinare la forma canonica dell’iperbole del nostro esempio:

$$ 3x^2+3y^2+4+10xy-4x+4y=0 $$

Riportiamo le matrici M e M’

$$ M = \begin{pmatrix} 3&5&-2 \\ 5&3&2 \\ -2&2&4 \end{pmatrix} \quad M’ = \begin{pmatrix} 3&5 \\ 5&3 \end{pmatrix} $$

Diagonalizziamo ora la matrice M’ cercando i suoi autovalori impostando l’equazione per annullare il polinomio caratteristico:

$$ \begin{array}{l} \det (M’- \lambda I) = 0 \\ \left| \begin{array}{c} 3-\lambda & 5 \\ 5 & 3-\lambda \end{array} \right| = 0 \\ (3-\lambda)^2-25=0 \\ (\lambda -3)^2-25 = 0 \\ (\lambda-3+5)(\lambda-3-5) = 0 \\ (\lambda+2)(\lambda-8)=0 \end{array} $$

Applichiamo quindi la legge di annullamento del prodotto per determinare i due autovalori:

$$ \begin{array} \lambda-8 = 0 &\to& \lambda_1= 8 \\ \lambda+2 = 0 &\to& \lambda_1= -2 \end{array} $$

Ora che abbiamo trovato i due autovalori scriviamo la matrice diagonale M’_D

$$ M’_D = \begin{pmatrix} \color{red}{8}&0 \\ 0& \color{red}{-2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{red}{A}&0 \\ 0& \color{red}{B} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{red}{\lambda_1}&0 \\ 0& \color{red}{\lambda_2} \end{pmatrix} $$

Non ci resta ora che trovare il terzo autovalore C dalla matrice M_D

$$ M_D = \begin{pmatrix} \color{red}{8}&0&0 \\ 0& \color{red}{-2}&0 \\ 0&0&\color{blue}{C} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{red}{A}&0&0 \\ 0& \color{red}{B}&0 \\ 0&0&\color{blue}{C} \end{pmatrix} $$

Sfruttiamo dunque la relazione per cui i determinanti delle matrici M e M_D sono uguali al prodotto tra i tre autovalori

$$ \det M_D = A \cdot B \cdot C = \det M $$

Da che ricaviamo il nostro terzo autovalore C

$$ \color{blue}{C} = \frac{\det M}{A \cdot B} = \frac{\det M}{\det M’_D} = \frac{-128}{-16} = 8 $$

A questo punto abbiamo la matrice M_D associata alla forma canonica:

$$ M_D = \begin{pmatrix} \color{red}{8}&0&0 \\ 0& \color{red}{-2}&0 \\ 0&0&\color{blue}{8} \end{pmatrix} $$

La forma canonica dell’iperbole risulta dunque:

$$ AX^2+BY^2+C = 0 \overset{\begin{cases} A=8 \\ B=-2 \\ C=8 \end{cases}}{\longrightarrow} 8X^2-2Y^2+8=0 $$

Possiamo anche riscriverla in una modalità da studenti delle scuole superiori

$$ 4X^2-Y^2+4= 0 \to X^2- \frac{Y^2}{4} = -1 $$

CONICHE E MATRICI – ESEMPIO DI PARABOLA

Data la seguente equazione:

$$ x^2+4y^2-4+4xy+2x-6y=0 $$

Stabilire di quale conica si tratta e ricavare la sua forma canonica.

Ricaviamo subito la matrice M associata alla conica e calcoliamo il suo determinantesfruttando la prima riga

$$ M = \begin{pmatrix} 1&2&1 \\ 2&4&-3 \\ 1&-3&-4 \end{pmatrix} \\ \ \\ \begin{array}{l} \det M &= 1 \cdot \left| \begin{array} 4&-3 \\ -3&-4 \end{array} \right| – 2 \cdot \left| \begin{array} 2&-3 \\ 1&-4 \end{array} \right| + 1 \cdot \left| \begin{array} 2&4 \\ 1&-3 \end{array} \right| \\ &= 1 \cdot(-16-9) -2 \cdot (-8+3)+1 \cdot(-6-4) \\ &=-25 \ne 0 \to \text{CONICA NON DEGENERE} \end{array}$$

Essendo il determinante diverso da zero classifichiamo la conica come non degenere.

Ora passiamo alla sottomatrice M’ 2×2 nord-ovest e calcoliamo il suo determinante

$$ M’ = \begin{pmatrix} 1&2 \\ 2&3 \end{pmatrix} \\ \ \\ \det M’ = 4-4= 0 \to \text{PARABOLA} $$

Essendo il determinante di M’ uguale a zero si tratta di una parabola

PASSARE ALLA FORMA CANONICA DELLA PARABOLA

Il procedimento per giungere alla forma canonica della parabola è in parte diverso da quello che si utilizza per l’ellisse e l’iperbole.

Partendo dall’equazione generica della conica:

$$ \gamma: \quad ax^2+by^2+c+2dxy+2ex+2fy= 0 $$

Determiniamo la solita matrice M associata alla conica stessa:

$$ M = \begin{pmatrix} a&d&e \\ d&b&f \\ e&f&c \end{pmatrix} $$

Da qui estrapoliamo subito la sottomatrice quadrata M’ 2×2 nord-ovest

$$ M’ = \begin{pmatrix} \color{red}{a}&d \\ d& \color{red}{b} \end{pmatrix} $$

Di questa matrice estrapoliamo immediatamente la traccia ovvero la somma degli elementi che si trovano lungo la diagonale principale.

Denotiamo questa traccia con A che idealmente è il nostro primo autovettore 𝜆₁

$$ \color{red}{A} = \text{Tr} M’ = a+b $$

A questo punto costruiamo la nostra matrice M_D che idealmente rappresenta la matrice diagonalizzata.

La forma di questa matrice appare diversa dalla solita matrice diagonalizzata in quanto la sua forma è:

$$ M_D = \begin{pmatrix} \color{red}{A}&0&0 \\ 0&0&\color{blue}{C} \\ 0&\color{blue}{C}&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{red}{\lambda_1}&0&0 \\ 0&0&\color{blue}{\lambda_3} \\ 0&\color{blue}{\lambda_3}&0 \end{pmatrix} $$

Imponiamo ora che il determinante di questa matrice deve essere uguale al determinate della matrice M

$$ \det M = \det M_D = -A \cdot C^2 $$

Da questa relazione possiamo calcolare i due valori di C in questo modo

$$ \color{blue}{C} = \pm \sqrt{\left| \frac{\det M}{A} \right|} $$

A questo punto abbiamo la forma canonica della parabola:

$$ \color{red}{A}X^2 + 2 \color{blue}{C} Y =0 $$

FORMA CANONICA DELLA PARABOLA – APPLICAZIONE

Proseguiamo dunque con il determinare la forma canonica della parabola del nostro esempio:

$$ x^2+4y^2-4+4xy+2x-6y = 0 $$

La matrici M e il suo determinante sono:

$$ M = \begin{pmatrix} 1&2&1 \\ 2&4&-3 \\ 1&-3&-4 \end{pmatrix} \to \det M = -25 \ne 0 $$

Mentre la matrice M’ e il suo determinante sono:

$$ M’ = \begin{pmatrix} 1&2 \\ 2&4 \end{pmatrix} \to \det M’ = 4-4 = 0 $$

Calcoliamo ora la traccia della matrice M’ che sarà il nostro termina A, ovvero il primo autovalore:

$$ \color{red}{A} = \text{Tr} M’ = a+b = 1+4 $$

A questo punto introduciamo la matrice M’_D che si presenta nella forma:

$$ M_D = \begin{pmatrix} \color{red}{A}&0&0 \\ 0&0&\color{blue}{C} \\ 0&\color{blue}{C}&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{red}{5}&0&0 \\ 0&0&\color{blue}{C} \\ 0&\color{blue}{C}&0 \end{pmatrix} $$

Sapendo che il determinante di M è uguale al determinante di M’_D

$$ \det M = \det M_D = -AC^2 $$

Ricaviamo i due valori di C con la formula inversa:

$$ \color{blue}{C} = \pm \sqrt{\left| \frac{\det M}{A} \right|} = \pm \sqrt{\left| \frac{-25}{5} \right|} = \pm \sqrt{5}$$

L’equazione in forma canonica della nostra parabola sarà dunque:

$$ \color{red}{A} X^2 +2 \color{blue}{C} Y = 0 $$

Scegliendo il valore di C negativo (è indifferente) la riscriviamo così

$$ 5X^2-2 \sqrt{5}Y = 0 $$

A questo punto se vogliamo l’equazione in modo più vicino alla classica parabola che conosciamo sviluppiamo qualche passaggio

$$ \sqrt{5}X^2-2Y = 0 \to Y = \frac{\sqrt{5}}{2} X^2 $$

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