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1-Dai concetti base alle prime equazioni

PROPRIETÀ DEI RADICALI

By 19 Dicembre 2023No Comments
proprietà dei radicali, immagine titolo

Le principali proprietà dei radicali sono:

  • Indice unitario e uguale a 2
  • Portare dentro
  • Semplificazione
  • Regola del valore assoluto 
  • Portare fuori

Rappresentiamo sinteticamente con uno schema queste proprietà

proprietà dei radicali, elenco delle principali proprietà:
indice unitario, indice due, semplificazione, regola del valore assoluto, portare dentro e portare fuori

Ora andiamo a vederle bene una per una.

INDICE UNITARIO  – PROPRIETÀ DEI RADICALI

Quando l’indice di una radicale è pari ad uno  (indice unitario)  possiamo semplicemente riscrivere il suo valore come il radicando

Questa proprietà deriva proprio dal fatto che l’operazione della radice è l’inversa della potenza, infatti:

Nel caso specifico di indice unitario avremo che:

Ad esempio la “radice unesima” (se così possiamo chiamarla) di 3 è pari a 3

Altri esempi possono essere:

Allo stesso modo si potrebbe dire che scrivere una quantità qualsiasi equivale a scrivere la “radice unesima” di questa quantità

In questo caso possiamo dire che il simbolo di radice è sottinteso, analogamente a quanto avviene quando un numero è elevato alla prima:

Quindi possiamo leggere  la relazione al contrario:

INDICE PARI A 2  –  PROPRIETÀ DEI RADICALI

Un’altra proprietà elementare riguarda i radicali che hanno per indice il numero naturale 2, ovvero il primo numero primo.

In questo caso particolare, detto radice quadrata,  la nostra simbologia ci permettere di omettere (ovvero non scrivere) l’indice del radicale.

Dunque in generale possiamo scrivere:

Ad esempio la radice quadrata di 2 è semplicemente radice di 2:

Altri esempi possono essere:

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LA SEMPLIFICAZIONE  – PROPRIETÀ DEI RADICALI

Passiamo ora a proprietà più “serie” e vediamo come funziona la semplificazione.

Supponiamo di avere un radicale con un indice pari ad N e un esponente del radicando pari a M:

Supponiamo che il massimo comune divisore (MCD)  tra M ed N sia una certa quantitàK, per cui possiamo riscrivere indice ed esponente nel seguente modo:

Possiamo allora riscrivere il radicale nel seguente modo:

La cosa interessante è che possiamo semplificare indice ed esponente proprio per il fattore comune K, ottenendo il radicale ridotto ai minimi termini:

Notiamo bene che questa è la stessa operazione che possiamo fare nella frazione M/N:

Sicuramente la cosa diventa più semplice con i numeri:

Consideriamo ad esempio la radice sesta di 16:

Possiamo riscrivere il 16 come la quarta potenza di 2:

Possiamo semplificare il 4 (sponente) e il 6 (indice) per 2, ottenendo:

Se andiamo dietro le quinte del calcolo che abbiamo appena fatto, possiamo scomporre l’indice e l’esponente nel seguente modo:

Dove si nota subito il fatto che 2 è il massimo comune divisore tra indice ed esponente del radicale che possiamo così riscrivere:

Semplificando dunque indice ed esponente per 2 otteniamo il risultato di prima:

Questa è una delle proprietà più interessanti di tutto il mondo dei radicali quindi procediamo con ordine vedendo esempi con:

  • Numeri
  • Monomi
  • Polinomi
  • Frazioni algebriche

SEMPLIFICAZIONE – ESEMPI NUMERICI

Partiamo da esempi basilari che sono radici quadrate di quadrati perfetti 

In questo caso indice ed esponente sono equivalenti e quindi semplificati danno  entrambi ad uno.

Questo comporta la “scomparsa” della radice.

Questo ragionamento può essere identicamente replicato per le radici cubiche di cubi perfetti:

Prendiamo ora in esame dei casi un po’ più interessanti con numeri che possono generare fattorizzazioni più intriganti:

ESEMPIO NUMERICO 1 – SEMPLIFICAZIONE

Un modo elementare di risolvere il problema è vedere il 36 come il quadrato di 6, dunque:

Un modo alternativo è quello di considerare la completa scomposizione in fattori primi del 36:

Dunque possiamo riscrivere il radicale nel seguente modo:

A questo punto come procediamo ? 

L’idea è semplice: dobbiamo semplicemente semplificare tutti gli esponenti e l’indice per il loro massimo comune divisore.

In questo caso il massimo comune divisore tra 4, 2, 2  è proprio 2:

ESEMPIO NUMERICO 2 – SEMPLIFICAZIONE

Un modo elementare di risolvere il problema è vedere il 400 come il quadrato di 20, dunque:

Un modo alternativo è quello di considerare la completa scomposizione in fattori primi del 400:

Dunque possiamo riscrivere il radicale nel seguente modo:

Semplifichiamo  tutti gli esponenti e l’indice per il loro massimo comune divisore.

In questo caso il massimo comune divisore tra 6, 4, 2  è  2:

ESEMPIO NUMERICO 3 – SEMPLIFICAZIONE

Un modo elementare di risolvere il problema è vedere il 3625 come il quadrato di 75, dunque:

In alternativa consideriamo la completa scomposizione in fattori primi del 400:

Dunque possiamo riscrivere il radicale nel seguente modo:

Semplifichiamo  tutti gli esponenti e l’indice per il loro massimo comune divisore, ovvero 2

Adesso che abbiamo capito i passaggi chiave corriamo spediti a vedere solo la procedura per gli altri casi

ESEMPI NUMERICI 4 – SEMPLIFICAZIONE

Oppure

SEMPLIFICAZIONE  DI RADICALI CON MONOMI

La semplificazione dei radicali di monomi funziona in tutto e per tutto in modo identico alla semplificazione che abbiamo visto con i numeri.

Ricordiamo infatti che la parte letterale dei monomi è una fattorizzazione in cui si moltiplicano potenze di basi prime, che sono le lettere.

Svolgiamo dunque qualche esempio partendo dai più elementari:

ESEMPI MONOMI 1 – SEMPLIFICAZIONE

ESEMPI MONOMI 2 – SEMPLIFICAZIONE

proprietà dei radicali, la semplificazione, esempi con monomi

Certamente qualcuno di noi si starà domandando perché nei risultati non compare nessun valore assoluto.

Cerchiamo di stare tranquilli perché andremo a perfezionare questa caratteristica nella prossima proprietà.

SEMPLIFICAZIONE  DI RADICALI CON POLINOMI

Andiamo verso una maggiore complessità e semplifichiamo radicali di polinomi.

ESEMPI POLINOMI 1 – SEMPLIFICAZIONE

In questi primi esempi riconosciamo quadrati di binomio e cubi di binomio che appartengono alla categoria dei prodotti notevoli.

ESEMPI POLINOMI 2 – SEMPLIFICAZIONE

In questi esempi vediamo semplificazione dei radicali in cui svolgiamo moltiplicazioni con i polinomi e applichiamo le regole di scomposizione dei polinomi.

In questo primo esercizio in particolare riconosciamo:

proprietà dei radicali, la semplificazione esempi con polinomi

SEMPLIFICAZIONE  DI RADICALI  CON FRAZIONI ALGEBRICHE

Vediamo ora alcuni esercizi di semplificazioni di radicali che hanno per oggetto frazioni algebriche:

ESEMPIO 1 – SEMPLIFICAZIONE CON FRAZIONI  ALGEBRICHE 

ESEMPIO 2 – SEMPLIFICAZIONE CON FRAZIONI  ALGEBRICHE 

Al numeratore scomponiamo la differenza di cubi, mentre al denominatore raccogliamo il 9 a fattor comune:

Semplifichiamo i falsi quadrati e riscriviamo meglio:

ESEMPIO 4 – SEMPLIFICAZIONE CON FRAZIONI  ALGEBRICHE 

Facciamo il denominatore comune:

Al numeratore riconosciamo un quadrato di binomio:

Semplifichiamo il radicale per 2:

ESEMPIO 5 – SEMPLIFICAZIONE CON FRAZIONI  ALGEBRICHE 

Facciamo il denominatore comune:

Al numeratore riconosciamo un cubo di binomio:

Semplifichiamo il radicale per 2:

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LA REGOLA DEL VALORE ASSOLUTO

In tutto il ragionamento perfetto fatto fino a qui ci è sfuggita una cosa: il valore assoluto in alcuni risultati.

Alcuni dei risultati infatti non avrebbero senso scritti come sono.

L’esempio canonico in questo senso è proprio il primo di tutti gli esempi fatti sulla semplificazione dei radicali:

Questo risultato non è del tutto corretto!!!

Infatti dovrebbe essere scritto nel seguente modo col valore assoluto:

Ma perché questa cosa ????

Riconsideriamo un attimo la radice quadrata di partenza:

Questa radice è definita per ogni valore di a reale, ed è sempre positivo.

Consideriamo ad esempio caso di un valore positivo di a, come il 2. 

In questo caso non ci sono problemi, infatti:

In questo caso è perfettamente rispettata la proprietà per cui:

Mentre le cose cambiamo quando consideriamo un valore negativo di a, come ad esempio –2

In questo caso abbiamo ottenuto come risultato il valore opposto di a, ovvero 2 è l’opposto di –2.

Avrebbe tutto più senso a questo punto se inseriamo il valore assoluto di a, ovvero il valore assoluto di –2

La scrittura più corretta è dunque:

Vediamo ora qual è la regola generale per il valore assoluto.

Sulla base di quanto abbiamo appreso prima sulla semplificazione è possibile scrivere:

In generale possiamo dire che è necessario il valore assoluto quando nella semplificazione l’esponente  passa da un valore M pari ad un valore n dispari, mentre non è richiesto altrove:

Per capirlo meglio riproponiamo esercizi con monomi, polinomi e frazioni algebriche riportando solamente i risultati rilevanti

REGOLA DEL VALORE ASSOLUTO – ESERCIZI CON MONOMI 

proprietà dei radicali, regola del valore assoluto, esempio con polinomi

REGOLA DEL VALORE ASSOLUTO – ESERCIZI CON FRAZIONI ALGEBRICHE

PORTARE DENTRO – PROPRIETÀ DEI RADICALI 

Un’altra importante proprietà dei radicali è quella del “portare dentro”.

In questo caso se abbiamo una quantità che moltiplica un radicale, possiamo portare all’interno questa quantità elevandola all’indice del radicale stesso.

In generale possiamo scrivere:

Vediamo qualche esempio di varia natura.

PORTARE DENTRO – ESEMPI CON I NUMERI

PORTARE DENTRO – ESEMPI CON I POLINOMI

proprietà dei radicali, portare dentro esempi con frazioni algebriche

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PORTARE FUORI – PROPRIETÀ DEI RADICALI 

L’ultima proprietà dei radicali che vediamo oggi è il portare di fuori.

Vediamone subito la scrittura matematica:

Possiamo portare fuori da un radicale quando l’esponente del radicando (m)  è maggiore o uguale all’indice del radicale (n).

In questo caso facciamo la divisione tra l’esponente e il radicando:

Da questa divisione otteniamo un quoziente intero (q) ed un resto intero ( r

Il quoziente della divisione diventa l’esponente della parte che portiamo di fuori, mentre il resto rimane come esponente della parte all’interno.

ESEMPIO – PORTARE FUORI

Consideriamo il seguente radicale:

Possiamo portare di fuori dal momento che l’esponente del radicando (17)  è maggiore dell’indice (3).

Perciò dividiamo l’esponente per l’indice:

Ora possiamo scrivere la scrittura finale:

HAI QUALCHE DOMANDA???

Se hai qualche domanda scrivila nei commenti

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