I MONOMI

I monomi sono strutture matematiche in cui si moltiplicano una parte numerica, ovvero un qualsiasi numero reale e una parte letterale.

Esempi di monomi sono:

$$ 2x \quad 3ab \quad \frac{2}{3}x^2y \quad – \frac{2}{5}a^2b^3x \quad \sqrt{2}x^3y^2z^4$$

PARTE NUMERICA

La parte numerica del monomio viene anche chiamata coefficiente.

Si tratta del numero che moltiplica la parte letterale.

Evidenziamo in verde la parte numerica degli esempi che abbiamo proposto sopra:

$$ \color{green}{2}x \quad \color{green}{3}ab \quad \color{green}{\frac{2}{3}}x^2y \quad \color{green}{- \frac{2}{5}}a^2b^3x \quad \color{green}{\sqrt{2}}x^3y^2z^4$$

Questi numeri possono essere naturali, relativi, frazionari o perfino irrazionali.

PARTE LETTERALE

La parte letterale del monomio consiste nella moltiplicazione di potenze che hanno per base una lettera e come esponente un numero naturale.

Evidenziamo con il colore blu la parte letterale degli esempi:

$$ 2\color{blue}{x} \quad 3\color{blue}{ab} \quad \frac{2}{3} \color{blue}{x^2y} \quad – \frac{2}{5} \color{blue}{a^2b^3x} \quad \sqrt{2} \color{blue}{x^3y^2z^4}$$

Nel primo esempio 

$$2\color{blue}{x}$$

 la parte letterale è costituita da un’unica potenza di base x ed esponente 1.

Nel monomio:

$$ 3\color{blue}{ab}$$

 la parte letterale è costituita da due potenze, la prima delle quali ha base a ed esponente 1.

Mentre la seconda ha base b ed esponente 1.

Nel quarto esempio:

$$- \frac{2}{5} \color{blue}{a^2b^3x} $$

 troviamo nella parte letterale il prodotto di tre potenze di basi ripetitivamente a, b ed x ed esponenti rispettivamente 2,3 e 1.

 troviamo nella parte letterale il prodotto di tre potenze di basi ripetitivamente a, b ed x ed esponenti rispettivamente 2,3 e 1.

BASI DELLA PARTE LETTERALE

Dietro ogni base della parte letterale (la lettera appunto) si può celare un qualsiasi numeroreale.

Il signor Viete, l’inventore dei monomi ha avuto la brillante idea con l’inserimento delle lettere di generalizzare il concetto di numero.

Prendiamo come esempio il monomio:

$$ \frac{2}{3} {x^2y}$$

Potremmo ad esempio mettere al posto della x il numero 1, mentre al posto della y il numero 3:

$$ \color{green}{x=1} ,\ \color{blue}{y=3} \to \frac{2}{3} \color{green}{1}^2 \cdot \color{blue}{3} = 2$$

In questo modo il valore del monomio sarebbe 2.

Oppure potremmo sostituire alla x il valore 3 e alla y il valore 1:

$$ x=3,\ y=1 \to \frac{2}{3} \cdot 3^2 \cdot 1 = 6 $$

Oppure ancora alla x  e alla y il valore 2:

$$ x=2,\ y=2 \to \frac{2}{3} \cdot 2^2 \cdot 2 = \frac{16}{3} $$

Capite che in questo modo potremo avere infinite combinazioni possibili.

ESPONENTI DELLA PARTE LETTERALE

È importante considerare che gli esponenti della parte letterale sono numeri naturali.

Quindi, questi sono monomi.

$$ 2x \quad 3ab \quad \frac{2}{3}x^{\color{red}2}y \quad – \frac{2}{5}a^{\color{red}2}b^{\color{red}3}x \quad \sqrt{2}x^{\color{red}3}y^{\color{red}2}z^{\color{red}4}$$

Quando l’esponente non compare vuol dire che il suo valore è 1:

$$ 2x^{\color{orange}1} \quad 3a^{\color{orange}1}b^{\color{orange}1} \quad \frac{2}{3}x^{\color{red}2}y^{\color{orange}1} \quad – \frac{2}{5}a^{\color{red}2}b^{\color{red}3}x^{\color{orange}1} \quad \sqrt{2}x^{\color{red}3}y^{\color{red}2}z^{\color{red}4}$$

RIPRENDI LE BASI MATEMATICHE

Comincia il tuo percorso matematico dalle basi!

I “NON MONOMI”

Questi invece non sono monomi:

$$ 3x^{-1}y^2 \quad 5a^\frac{2}{3} b^3 \quad \frac{2}{3} h^\pi k $$

Nel primo caso:

$$ 3x^{-1}y^2$$

Vi è un esponente relativo negativo.

In questo caso classifichiamo questa scrittura come una frazione algebrica.

Infatti possiamo scriverlo anche nel seguente modo:

$$ 3\color{blue}{x^{-1}}y^2 = 3\cdot \color{blue}{\frac{1}{x}}y^2 = \frac{3y^2}{x}$$

 ricordando che quando l’esponente è negativo tende a ribaltare la frazione.

Essendo che la x si trova al denominatore deve essere necessariamente diversa da zero, pertanto non può assumere le sembianze di un qualsiasi numero reale.

Anche il secondo caso non può essere considerato un monomio:

$$ 5a^\frac{2}{3} b^3 $$

L’esponente frazionario (2/3) relativo alla base a, indica la presenza di un radicale, infatti:

$$ 5a^\frac{2}{3} b^3 = 5 \color{blue}{\sqrt[3]{a^2}} b^3$$

L’insieme dei numeri irrazionali classificato come radicali presenta delle condizioni di esistenza quando l’indice del radicale è pari.

In tale circostanza infatti il radicando deve essere maggiore o uguale a zero

Nel terzo caso 

$$\frac{2}{3} \color{blue}{h^\pi} k $$

 l’esponente relativo alla base h è un numero che quasi tutti conosciamo, il π (pi greco).

Questo è un numero irrazionale, ovvero che non può neanche essere considerato frazione.

La potenza di base h in questione è soggetta in queste situazione ad ulteriori restrizioni e deve essere positiva e diversa da uno.

Se questa ultima parte vi è risultata un po’ poco chiara non importa.

La cosa importante è che se siete alle prime armi con i monomi sappiate che l’esponente deve essere un numero naturale.

Il resto se avete un po’ di calma e di pazienza lo scoprirete a mano a mano continuate il vostro percorso con la matematica.

PICCOLA NOTA STORICA

Prima di addentrarci alla scoperta delle proprietà e delle operazioni che possiamo fare con i  monomi è bene sapere che questi non sono sempre esistiti.

L’invenzione dei monomi si attribuisco al matematico Francois Viete.

In realtà non era un matematico di professione, bensì un vero e proprio appassionato di matematica.

Dobbiamo dire che pur essendo l’inventore dei monomi la forma da lui inventata di discostava un po’ da quella che utilizziamo oggi.

Ad esempio per scrivere la quarta potenza di A, oggi scriveremmo:

$$a^4$$

Mentre per Viète la scrittura era quella di scrivere la A quattro volte

$$ aaaa $$

GRADO DI UN MONOMIO

Il grado di un monomio è determinato dagli esponenti della parte letterale.

Se consideriamo ad esempio il monomio:

$$ – \frac{2}{5} a^2b^3x $$

Possiamo riconoscere che 2 è l’esponente della a, 3 è l’esponente della b, mentre 1 (che non si vede) è l’esponente della x.

Il grado di un monomio può essere riferito alle singole lettere.

Sempre nel monomio preso come esempio diciamo che presenta grado 2 rispetto alla lettera a, grado 3 rispetto alla lettera b e grado 1 rispetto alla lettera x.

Il grado complessivo del monomio è la somma dei gradi relativi alle lettere.

Nel nostro caso sarà dunque un monomio di sesto grado.

$$ – \frac{2}{5} \color{red}{a^2} \color{blue}{b^3} \color{green}{x} \\ \color{red}{a \to \text{ grado } 2} \quad \color{blue}{b \to \text{ grado } 3} \quad \color{green}{x \to \text{ grado } 1} $$

MONOMI SIMILI

Si definiscono monomi simili i monomi che hanno la stessa parte letterale.

Sono monomi simili ad esempio:

$$ x \quad 3x \quad -6x \frac{2}{3}x $$

Oppure:

$$ 2 \color{blue}{x^2y^3} \quad -4 \color{blue}{x^2y^3} \quad \frac{2}{5} \color{blue}{x^2y^3} \quad -\frac{4}{3} \color{blue}{x^2y^3} $$

Attenzione che quando diciamo stessa parte letterale non intendiamo semplicemente le stesse lettere.

Non sono monomi simili a esempio:

$$ 2ab \quad -4a^2b \quad \frac{2}{5}ab^2 \quad -\frac{4}{3}a^2b^2 $$

MONOMI OPPOSTI

Sono monomi opposti due monomi che hanno la stessa parte letterale ma coefficiente con segno diverso.

Ad esempio riportiamo tre coppie di monomi opposti:

$$ \color{violet}{+2xy \quad -2xy} \qquad \color{green}{+\frac{3}{2}abc \quad -\frac{3}{2}abc} \qquad \color{red}{-\frac{3}{7}a^2x^3 \quad +\frac{3}{7}a^2x^3}$$

IL COEFFICIENTE 1

Quando un monomio ha un coefficiente pari a uno usiamo la convenzione di non scriverlo.

Per esempio :

$$ 1a^2x \overset{\text{scriviamo}}{\longrightarrow} a^2x $$

Esempi di monomi con coefficiente unitario (=1) sono:

$$ x \quad xz^2 \quad abc \quad k^2h^3$$

IL MONOMIO NULLO

Il monomio nullo  può essere identificato anche con un monomio con coefficiente pari a zero.

Dunque:

$$ 0= 0x=0y=0x^2y=0a^3b^2=0s^{99}t^{100}s^{101}= \cdots $$

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