Le equazioni fattorizzate sono equazioni dove un prodotto di elementi in una certa incognita viene eguagliato a zero.
La forma con cui si presentano è del tipo:
Dove sul lato sinistro sono presenti dei fattori f1(x), f2(x), …, fn(x), mentre sul lato destro abbiamo lo zero.
Capita spesso che per raggiungere questa forma si ricorra alle scomposizioni polinomiali.
Per la legge di annullamento del prodotto la soluzione di queste equazioni si trova imponendo ogni fattore uguale a zero:
LA LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO
La legge di annullamento del prodotto afferma che un prodotto di elementi (detti fattori) vale zero se almeno uno di quegli elementi vale zero.
Consideriamo ad esempio il seguente prodotto di elementi.
Quando questo prodotto vale zero?
Certamente se il primo termine A vale zero, infatti:
Oppure potrebbe valere zero se il secondo fattore B vale zero, infatti:
Infine potrebbe valere zero se il secondo fattore C vale zero, infatti:
In definitiva possiamo affermare che il prodotto di questi tre elementi vale zero se vale zero almeno uno di questi tre elementi.
In linguaggio matematico traduciamo questa affermazione così:
EQUAZIONI FATTORIZZATE E LEGGE DI ANNULLAMENTO
Consideriamo il caso in cui tutti i fattori presenti dipendono da una certa incognita x.
Rifacendoci al caso di prima con tre fattori:
Possiamo anche riscriverla come:
Dunque se applichiamo le legge di annullamento del prodotto possiamo imporre ognuno dei tre fattori uguale a zero:
Ovviamente in questo caso dobbiamo risolvere equazioni di vario genere.
Facciamo qualche esempio preliminare per schiarire le idee:
EQUAZIONI FATTORIZZATE GIA SCOMPOSTE
Cominciamo con qualche esempio semplice di natura polinomiale, dove l’equazione si trova già nella forma fattorizzata con polinomi di primo grado.
ESEMPIO 1 – EQUAZIONI FATTORIZZATE
Per risolvere l’equazione asta che imponiamo i due fattori uguali a zero e studiamo due equazioni di primo grado:
ESEMPIO 2 – EQUAZIONI FATTORIZZATE
Imponiamo ogni fattore uguale a zero e risolviamo tre equazioni di primo grado:
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EQUAZIONI FATTORIZZATE CON SCOMPOSIZIONE
Molto spesso capita che per giungere alle equazioni fattorizzate si renda necessaria la scomposizione di polinomi.
Vediamo alcuni esempi.
ESEMPIO 1 – EQUAZIONI FATTORIZZATE CON SCOMPOSIZIONE
Si tratta chiaramente di una equazione di secondo grado.
Raccogliamo a fattor comune la x:
Ora applichiamo la legge di annullamento del prodotto studiando ogni fattore di primo grado uguale a zero:
ESEMPIO 2 – EQUAZIONI FATTORIZZATE CON SCOMPOSIZIONE
Si tratta chiaramente di una equazione di secondo grado.
Scomponiamo il lato di sinistra come una differenza di quadrati:
Ora applichiamo la legge di annullamento del prodotto studiando ogni fattore di primo grado uguale a zero:
Soluzione che possiamo anche scrivere così:
ESEMPIO 3 – EQUAZIONI FATTORIZZATE CON SCOMPOSIZIONE
Si tratta chiaramente di una equazione di secondo grado.
Scomponiamo il lato di sinistra come quadrato di binomio:
Ora applichiamo la legge di annullamento del prodotto studiando la base del quadrato uguale a zero:
ESEMPIO 4 – EQUAZIONI FATTORIZZATE CON SCOMPOSIZIONE
Si tratta chiaramente di una equazione di terzo grado.
Scomponiamo il polinomio di sinistra prima raccogliendo la x a fattor comune:
Dopo di che rileggiamo il secondo fattore di secondo grado come un trinomio speciale di prodotto pari a –6 e somma pari a +1.
Ora applichiamo la legge di annullamento del prodotto imponendo i tre fattori di primo grado uguali a zero:
ESEMPIO 5 – EQUAZIONI FATTORIZZATE CON SCOMPOSIZIONE
Si tratta chiaramente di una equazione di terzo grado.
Scomponiamo il polinomio di sinistra con un raccoglimento a fattor parziale:
Ora applichiamo la legge di annullamento del prodotto imponendo i tre fattori di primo grado uguali a zero.
La prima è una banale è equazione di primo grado:
Imponendo il secondo fattore uguale a zero abbiamo una equazione pura di secondo grado:
Tale equazione risulta impossibile nei numeri reali poiché una somma di quadrati è sempre maggiore di zero quindi non può annullarsi:
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ESEMPIO 6 – EQUAZIONI FATTORIZZATE CON SCOMPOSIZIONE
Si tratta chiaramente di una equazione di terzo grado.
A sinistra riconosciamo un cubo di binomio:
Ora applichiamo la legge di annullamento del prodotto imponendo la base del cubo uguale a zero.
ESEMPIO 7 – EQUAZIONI FATTORIZZATE CON SCOMPOSIZIONE
Si tratta chiaramente di una equazione di terzo grado.
A sinistra riconosciamo una differenza di cubi che possiamo scomporre in un binomio per il falso quadrato
Ora applichiamo la legge di annullamento del prodotto imponendo i due fattori uguali a zero
La seconda equazione è impossibile nei numeri reali poiché il falso quadrato è sempre positivo.
ESEMPIO 8 – EQUAZIONI FATTORIZZATE CON SCOMPOSIZIONE
Abbiamo un’equazione di terzo grado dove possiamo applicare la scomposizione con Ruffini.
Dobbiamo cercare se tra i divisori del 6:
vi è qualcuno che possa annullare il polinomio:
In questo caso siamo fortunati poiché il fattore annullante è +1, infatti:
Il polinomio è dunque perfettamente divisibile per (x–1)
Quindi proseguiamo con la divisione con Ruffini:
Facciamo la tabella della divisione con Ruffini:
Il quoziente della divisione con resto zero è:
Dunque l’equazione :
Può essere riscritta in modo fattorizzato come:
Possiamo ancora scomporre il secondo polinomio di secondo grado come un trinomio speciale:
Applichiamo la legge di annullamento del prodotto e risolviamo tre equazioni di primo grado:
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EQUAZIONI FATTORIZZATE CON SOSTITUZIONE
Il concetto di fattorizzazione può essere esteso anche ad equazioni non polinomiali:
Ci riferiamo in particolare ad equazioni:
Vediamo alcuni esempi.
EQUAZIONI FATTORIZZATE IRRAZIONALI
Consideriamo la seguente equazione irrazionale:
Ora facciamo la seguente sostituzione:
Riscriviamo dunque l’equazione come segue:
Si tratta ora di risolvere un’equazione di secondo grado, quindi spostiamo tutto a sinistra:
Riconosciamo sulla sinistra un trinomio speciale di secondo grado:
Applichiamo ora l’annullamento del prodotto e risolviamo due equazioni di primo grado in t, da cui poi otteniamo due equazioni irrazionali in x:
EQUAZIONI FATTORIZZATE IN VALORE ASSOLUTO
Consideriamo la seguente equazione in modulo o valore assoluto:
Ora facciamo la seguente sostituzione:
Ricordiamo che scrivere il quadrato di x equivale a scrivere nei reali il quadrato del modulo di x:
Dunque possiamo scrivere l’equazione come segue:
Si tratta ora di risolvere un’equazione di secondo grado, quindi spostiamo tutto a sinistra:
Riconosciamo sulla sinistra un trinomio speciale di secondo grado:
Applichiamo ora l’annullamento del prodotto e risolviamo due equazioni di primo grado in t, da cui poi otteniamo due equazioni in modulo o valore assoluto.
Come si nota la prima equazione è impossibile poichè un modulo non può essere negativo!
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EQUAZIONI FATTORIZZATE ESPONENZIALI
Consideriamo la seguente equazione esponenziale:
Ora facciamo la seguente sostituzione:
Otteniamo un’equazione di secondo grado in t:
Riconosciamo sulla sinistra un trinomio speciale di secondo grado:
Applichiamo ora l’annullamento del prodotto e risolviamo due equazioni di primo gradoin t, da cui poi otteniamo due equazioni esponenziali.
Come si nota la seconda equazione è impossibile poichè un esponenziale non può essere negativo!
EQUAZIONI FATTORIZZATE LOGARITMICHE
Consideriamo la seguente equazione logaritmica:
Ora facciamo la seguente sostituzione:
Possiamo dunque riscrivere il nostro testo come un’equazione di secondo grado:
Riconosciamo sulla sinistra un trinomio speciale di secondo grado:
Applichiamo ora l’annullamento del prodotto e risolviamo due equazioni di primo grado in t, da cui poi otteniamo due equazioni logaritmiche.
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EQUAZIONI FATTORIZZATE CON DUE VARIABILI
Il concetto di equazione fattorizzate può estendersi al caso di più variabili.
In particolare quando ci riferiamo a due variabili x e y, possiamo trovarci in un generico caso del tipo:
Dove i fattori presenti sul lato sinistra dipendono appunto dalle due variabili x e y.
Allo stesso modo di quanto visto per il caso con una variabile imponiamo i fattori uguali a zero.
Così facendo gli zeri del polinomio possono essere raffigurati nel sistema cartesiano come figure geometriche come ad esempio rette, parabole, ellissi, circonferenza, iperboli, etc.
Proviamo a fare qualche basico esempio.
ESEMPIO 1 – EQUAZIONI FATTORIZZATE IN DUE VARIABILI
Facciamo un raccoglimento parziale:
Ora possiamo riconoscere una differenza di quadrati nel primo fattore:
Applicando l’annullamento del prodotto troviamo che:
Come interpretare tutto ciò dal punto di vista grafico?
Cominciamo con il rappresentare il polinomio:
Analizzare gli zeri del polinomio significa vedere cosa si forma nell’intersezione tra il polinomio e il piano z=0.
Nel nostro caso specifico, grazie alla fattorizzazione del polinomio vediamo queste intersezioni nelle rette:
ESEMPIO 2 – EQUAZIONI FATTORIZZATE IN DUE VARIABILI
Proponiamo un’altra equazione fattorizzata con due variabili:
Facciamo un raccoglimento parziale a coppie:
Applicando l’annullamento del prodotto sul primo fattore:
Si tratta di una retta ed in particolare della bisettrice del primo e del quadrante
Passando invece al secondo fattore:
Si tratta di una circonferenza con centro nell’origine degli assi e raggio pari a 1.
Possiamo riscriverla anche così:
Possiamo anche in questo caso rappresentare il polinomio e le intersezioni con il piano di livello zero:
HAI QUALCHE DOMANDA???
Se hai qualche domanda scrivila nei commenti
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