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Oggi andiamo a vedere le operazioni con i monomi.

Con i monomi si possono effettuare e classiche operazioni somma e differenza (somma algebrica) , moltiplicazione e divisione, e potenza.

SOMMA ALGEBRICA DI MONOMOMI

Con il termine somma algebriche intendiamo la somma e la differenza di monomi.

Possiamo effettuare una somma algebrica di monomi solamente tra monomi simili.

È come sommare le sedie con le sede, le banane con le banana e le bottiglie con le bottiglie.

Per fare una somma di monomi simili basta sommare i loro coefficienti e riportare la parte letterale.

Vediamo insiemi qualche esempio:

ESEMPIO 1

Andiamo a raccogliere la parte letterale e a sommare i coefficienti:

ESEMPIO 2

Consideriamo la seguente espressione:

Ripetiamo la stessa operazione vista nell’esempio precedente:

ESEMPIO 3

Ora andiamo a fare il denominatore comune tra le frazioni:

Infine semplifichiamo la frazione:

ESEMPIO 4

Individuiamo per prima cosa i monomi simili all’interno dell’espressione:

 dopo di che andiamo a raccogliere le parti letterali in comune e a raccogliere i relativi coefficienti.

 procediamo sempre facendo i nostri denominatori comuni:

Come possiamo notare le frazioni sono scomparse poiché abbiamo semplificato il numeratore con il denominatore delle frazioni.

Poiché alla fine i coefficienti valevano 1 non li abbiamo scritti.

MOLTIPLICAZIONI TRA MONOMI

Quando moltiplichiamo tra di loro due o più monomi moltiplichiamo i coefficienti tra di loro e le parti letterali tra di loro, queste ultime applicando le proprietà delle potenze.

Vediamo alcuni esempi di moltiplicazione tra monomi.

ESEMPIO 1

Partiamo da un caso abbastanza semplice:

Separiamo la moltiplicazione tra i coefficienti e quella delle parti letterali:

Nel caso dei coefficienti andiamo a moltiplicare il numero.

Mentre per quanto riguarda le parti letterali applichiamo le proprietà delle potenze:

ESEMPIO 2

In questo secondo esempio introduciamo anche dei segni negativi:

Ora applichiamo la regola di prima, andando direttamente ad applicare le proprietà delle potenze sulla parte letterale:

Molto spesso per una questione di comodità possiamo separare il segno dal numero puro, seguendo la regola generale:

In questo caso lo avremmo risolto così:

ESEMPIO 3

Vediamo un esempio più complesso in cui compaiono anche delle frazioni e tre fattori:

Procediamo ora con la regola appena imparata:

Direi che ora l’espressione è ordinatissima 

Non ci resta che trovare il risultato, moltiplicando i segni, poi i numeri (semplificando le frazioni) e sommando gli esponenti.

Partiamo dal segno.

Essendo che il segno positivo non influenza il segno del monomio possiamo scrivere solo i segni negativi.

Ed essendo che i segni negativi sono 2 (pari) possiamo anche scrivere solamente:

Per quanto riguarda la parte numerica semplificando il 2 con il 4, il 3 con il 9 e il 5 con il 5 dovremmo avere:

Per la parte letterale andiamo semplicemente a sommare gli esponenti.

A questo punto il nostro risultato è:

ESEMPIO 4

Prendiamo in esame un testo ancora più complesso con quattro fattori:

Applichiamo la regola generale:

Semplifichiamo prima i numeri:

Otteniamo infine il nostro risultato:

DIVISIONE TRA MONOMI

Per effettuare una divisione tra due monomi dividiamo la parte numerica e separatamente la parte letterale, quest’ultima applicando le regole delle potenze.

Facciamo qualche esempio:

ESEMPIO 1

Anche in questo caso possiamo sempre rifarci alla regola generale:

Poiché l’esponente della lettera c vale zero possiamo anche non scrivere il termine c poiché il suo valore è 1.

Il risultato è dunque:

ESEMPIO 2

Introduciamo un esempio con le frazioni:

Per quanto riguarda la parte numerica possiamo scrivere la divisione tra le due frazionicome il prodotto tra la prima frazione e la seconda invertita:

Semplificando i numeratori con i denominatori abbiamo:

Il risultato cercato è dunque:

Ovviamente non abbiamo scritto la y poiché il suo esponente è pari a zero.

POTENZA DI UN MONOMIO

Per fare la potenza di un monomio facciamo la potenza della parte numerica e separatamente la potenza della parte letterale.

Vediamo anche qui un paio di esempi:

PRIMO ESEMPIO

Ovviamente applichiamo la solito regola generale:

Per quanto riguarda l’esponente della parte letterale lo moltiplichiamo per l’esponente della potenza del monomio.

Quindi il risultato ottenuto è:

SECONDO ESEMPIO

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ESPRESSIONI CON TUTTE LE OPERAZIONI

Ora che abbiamo visto separatamente tutte le operazioni che è possibile fare con i monomi, vediamo delle espressione che contengono tutte queste operazioni.

ESEMPIO 1

Per risolvere queste espressioni bisogna tenere ben presente l’ordine in cui andiamo a risolvere i calcoli.

Per prima cosa risolvono le parentesi, in assenza di queste passiamo alle potenze, poi allemoltiplicazioni e divisioni ed infine alle somme e alle differenze.

Individuiamo subito la presenza di tre blocchi nel testo, separati dai meno e dai più:

Nel primo blocco individuato dalla prima parentesi abbiamo una somma di monomi simili.

Mentre nel secondo blocco dove ci sono i tre monomi centrali che si moltiplicano possiamo risolvere la potenza.

L’ultimo blocco non lo tocchiamo fino alla fine.

L’espressione a questo punto diventa:

Ora nel primo blocco risolviamo la potenza, mentre nel secondo la moltiplicazione e divisione:

Da notare che nel secondo blocco abbiamo cambiato l’operazione di divisione facendola diventare una moltiplicazione e invertendo la frazione dopo il simbolo di diviso.

A questo punto facciamo i conti con le parti numeriche del secondo blocco:


 
Ora non dobbiamo che sommare algebricamente i tre monomi simili:
 

SECONDO ESEMPIO:

Anche in questa espressione possiamo riconoscere due grossi blocchi, separati da un meno (–):

Risolviamoli separatamente.

Entriamo nel primo blocco:

Dove per prima cosa risolviamo la potenza:

In seguito passiamo alla divisione:

Ora entriamo nel secondo blocco:

Possiamo togliere la parentesi che crea ingombro:

Per prima cosa passiamo alle potenze:

Adesso passiamo alle moltiplicazioni – divisioni:

Da notare che davanti al meno alla seconda ((–)2) ho inserito un più (+).

Questo perché il segno più (+) è innocuo nel senso che non modifica il segno di quello che viene dopo.

In questo modo ci possiamo concentrare su quello che avviene nella moltiplicazione – divisione dove sono presenti die segni negativi.

Scriviamo dunque il risultato parziale che è:

Ovviamente il passaggio finale è stato quello di sommare i monomi simili sommando i coefficienti.

Adesso che abbiamo i risultati dei due blocchi mettiamoli insieme:

Si tratta certamente della somma di monomi simili che ormai già conosciamo:

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