Oggi andiamo a vedere le operazioni con i monomi.
Con i monomi si possono effettuare e classiche operazioni somma e differenza (somma algebrica) , moltiplicazione e divisione, e potenza.
SOMMA ALGEBRICA DI MONOMOMI
Con il termine somma algebriche intendiamo la somma e la differenza di monomi.
Possiamo effettuare una somma algebrica di monomi solamente tra monomi simili.
È come sommare le sedie con le sede, le banane con le banana e le bottiglie con le bottiglie.
Per fare una somma di monomi simili basta sommare i loro coefficienti e riportare la parte letterale.
Vediamo insiemi qualche esempio:
ESEMPIO 1
Andiamo a raccogliere la parte letterale e a sommare i coefficienti:
ESEMPIO 2
Consideriamo la seguente espressione:
Ripetiamo la stessa operazione vista nell’esempio precedente:
ESEMPIO 3
Ora andiamo a fare il denominatore comune tra le frazioni:
Infine semplifichiamo la frazione:
ESEMPIO 4
Individuiamo per prima cosa i monomi simili all’interno dell’espressione:
dopo di che andiamo a raccogliere le parti letterali in comune e a raccogliere i relativi coefficienti.
procediamo sempre facendo i nostri denominatori comuni:
Come possiamo notare le frazioni sono scomparse poiché abbiamo semplificato il numeratore con il denominatore delle frazioni.
Poiché alla fine i coefficienti valevano 1 non li abbiamo scritti.
MOLTIPLICAZIONI TRA MONOMI
Quando moltiplichiamo tra di loro due o più monomi moltiplichiamo i coefficienti tra di loro e le parti letterali tra di loro, queste ultime applicando le proprietà delle potenze.
Vediamo alcuni esempi di moltiplicazione tra monomi.
ESEMPIO 1
Partiamo da un caso abbastanza semplice:
Separiamo la moltiplicazione tra i coefficienti e quella delle parti letterali:
Nel caso dei coefficienti andiamo a moltiplicare il numero.
Mentre per quanto riguarda le parti letterali applichiamo le proprietà delle potenze:
ESEMPIO 2
In questo secondo esempio introduciamo anche dei segni negativi:
Ora applichiamo la regola di prima, andando direttamente ad applicare le proprietà delle potenze sulla parte letterale:
Molto spesso per una questione di comodità possiamo separare il segno dal numero puro, seguendo la regola generale:
In questo caso lo avremmo risolto così:
ESEMPIO 3
Vediamo un esempio più complesso in cui compaiono anche delle frazioni e tre fattori:
Procediamo ora con la regola appena imparata:
Direi che ora l’espressione è ordinatissima
Non ci resta che trovare il risultato, moltiplicando i segni, poi i numeri (semplificando le frazioni) e sommando gli esponenti.
Partiamo dal segno.
Essendo che il segno positivo non influenza il segno del monomio possiamo scrivere solo i segni negativi.
Ed essendo che i segni negativi sono 2 (pari) possiamo anche scrivere solamente:
Per quanto riguarda la parte numerica semplificando il 2 con il 4, il 3 con il 9 e il 5 con il 5 dovremmo avere:
Per la parte letterale andiamo semplicemente a sommare gli esponenti.
A questo punto il nostro risultato è:
ESEMPIO 4
Prendiamo in esame un testo ancora più complesso con quattro fattori:
Applichiamo la regola generale:
Semplifichiamo prima i numeri:
Otteniamo infine il nostro risultato:
DIVISIONE TRA MONOMI
Per effettuare una divisione tra due monomi dividiamo la parte numerica e separatamente la parte letterale, quest’ultima applicando le regole delle potenze.
Facciamo qualche esempio:
ESEMPIO 1
Anche in questo caso possiamo sempre rifarci alla regola generale:
Poiché l’esponente della lettera c vale zero possiamo anche non scrivere il termine c poiché il suo valore è 1.
Il risultato è dunque:
ESEMPIO 2
Introduciamo un esempio con le frazioni:
Per quanto riguarda la parte numerica possiamo scrivere la divisione tra le due frazionicome il prodotto tra la prima frazione e la seconda invertita:
Semplificando i numeratori con i denominatori abbiamo:
Il risultato cercato è dunque:
Ovviamente non abbiamo scritto la y poiché il suo esponente è pari a zero.
POTENZA DI UN MONOMIO
Per fare la potenza di un monomio facciamo la potenza della parte numerica e separatamente la potenza della parte letterale.
Vediamo anche qui un paio di esempi:
PRIMO ESEMPIO
Ovviamente applichiamo la solito regola generale:
Per quanto riguarda l’esponente della parte letterale lo moltiplichiamo per l’esponente della potenza del monomio.
Quindi il risultato ottenuto è:
SECONDO ESEMPIO
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ESPRESSIONI CON TUTTE LE OPERAZIONI
Ora che abbiamo visto separatamente tutte le operazioni che è possibile fare con i monomi, vediamo delle espressione che contengono tutte queste operazioni.
ESEMPIO 1
Per risolvere queste espressioni bisogna tenere ben presente l’ordine in cui andiamo a risolvere i calcoli.
Per prima cosa risolvono le parentesi, in assenza di queste passiamo alle potenze, poi allemoltiplicazioni e divisioni ed infine alle somme e alle differenze.
Individuiamo subito la presenza di tre blocchi nel testo, separati dai meno e dai più:
Nel primo blocco individuato dalla prima parentesi abbiamo una somma di monomi simili.
Mentre nel secondo blocco dove ci sono i tre monomi centrali che si moltiplicano possiamo risolvere la potenza.
L’ultimo blocco non lo tocchiamo fino alla fine.
L’espressione a questo punto diventa:
Ora nel primo blocco risolviamo la potenza, mentre nel secondo la moltiplicazione e divisione:
Da notare che nel secondo blocco abbiamo cambiato l’operazione di divisione facendola diventare una moltiplicazione e invertendo la frazione dopo il simbolo di diviso.
A questo punto facciamo i conti con le parti numeriche del secondo blocco:
Ora non dobbiamo che sommare algebricamente i tre monomi simili:
SECONDO ESEMPIO:
Anche in questa espressione possiamo riconoscere due grossi blocchi, separati da un meno (–):
Risolviamoli separatamente.
Entriamo nel primo blocco:
Dove per prima cosa risolviamo la potenza:
In seguito passiamo alla divisione:
Ora entriamo nel secondo blocco:
Possiamo togliere la parentesi che crea ingombro:
Per prima cosa passiamo alle potenze:
Adesso passiamo alle moltiplicazioni – divisioni:
Da notare che davanti al meno alla seconda ((–)2) ho inserito un più (+).
Questo perché il segno più (+) è innocuo nel senso che non modifica il segno di quello che viene dopo.
In questo modo ci possiamo concentrare su quello che avviene nella moltiplicazione – divisione dove sono presenti die segni negativi.
Scriviamo dunque il risultato parziale che è:
Ovviamente il passaggio finale è stato quello di sommare i monomi simili sommando i coefficienti.
Adesso che abbiamo i risultati dei due blocchi mettiamoli insieme:
Si tratta certamente della somma di monomi simili che ormai già conosciamo:
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