LE OPERAZIONI CON I MONOMI

Oggi andiamo a vedere le operazioni con i monomi.

Con i monomi si possono effettuare e classiche operazioni somma e differenza (somma algebrica) , moltiplicazione e divisione, e potenza.

SOMMA ALGEBRICA DI MONOMI

Con il termine somma algebriche intendiamo la somma e la differenza di monomi.

Possiamo effettuare una somma algebrica di monomi solamente tra monomi simili.

È come sommare le sedie con le sede, le banane con le banana e le bottiglie con le bottiglie.

Per fare una somma di monomi simili basta sommare i loro coefficienti e riportare la parte letterale.

Vediamo insiemi qualche esempio:

ESEMPIO 1

$$4x+2x-3x+x$$

Andiamo a raccogliere la parte letterale e a sommare i coefficienti:

$$(4+2-3+1)x=4x$$

ESEMPIO 2

Consideriamo la seguente espressione:

$$-3ab +5ab-4ab-7ab=$$

Ripetiamo la stessa operazione vista nell’esempio precedente:

$$(-3+5-4-7)ab=-9ab$$

ESEMPIO 3

$$\frac{2}{3}x^2y+3x^2y+\frac{1}{2}x^2y-\frac{5}{6}x^2y=\\ \left( \frac{2}{3}+3+\frac{1}{2}-\frac{5}{6} \right) x^2y=$$

Ora andiamo a fare il denominatore comune tra le frazioni:

$$\frac{4+18+3-5}{6} x^2y = \frac{20}{6} x^2y $$

Infine semplifichiamo la frazione:

$$ \frac{10}{3}x^2y$$

ESEMPIO 4

$$ \frac{3}{5}ab+ \frac{2}{3}b^2- \frac{1}{10}ab+ \frac{1}{2}ab- \frac{1}{6}b^2+ \frac{1}{2}b^2=$$

Individuiamo per prima cosa i monomi simili all’interno dell’espressione:

$$ \color{green}{\frac{3}{5}ab} \color{red}{+ \frac{2}{3}b^2} \color{green}{- \frac{1}{10}ab+ \frac{1}{2}ab} \color{red}{- \frac{1}{6}b^2+ \frac{1}{2}b^2}=$$

 dopo di che andiamo a raccogliere le parti letterali in comune e a raccogliere i relativi coefficienti.

$$ \left( \color{green}{ \frac{3}{5} -\frac{1}{10} +\frac{1}{2} } \right) ab + \left( \color{red}{\frac{2}{3} -\frac{1}{6} +\frac{1}{2} } \right) b^2$$

 procediamo sempre facendo i nostri denominatori comuni:

$$ \frac{6-1+5}{10}ab + \frac{4-1+3}{6}b^2 = \frac{10}{10}ab + \frac{6}{6}b^2 = ab+b^2$$

Come possiamo notare le frazioni sono scomparse poiché abbiamo semplificato il numeratore con il denominatore delle frazioni.

Poiché alla fine i coefficienti valevano 1 non li abbiamo scritti.

MOLTIPLICAZIONI TRA MONOMI

Quando moltiplichiamo tra di loro due o più monomi moltiplichiamo i coefficienti tra di loro e le parti letterali tra di loro, queste ultime applicando le proprietà delle potenze.

Vediamo alcuni esempi di moltiplicazione tra monomi.

ESEMPIO 1

Partiamo da un caso abbastanza semplice:

$$(2ab^2) \cdot (3a^2b)=$$

Separiamo la moltiplicazione tra i coefficienti e quella delle parti letterali:

$$(2 \cdot 3) \cdot ((ab^2) \cdot (a^2b))=$$

Nel caso dei coefficienti andiamo a moltiplicare il numero.

Mentre per quanto riguarda le parti letterali applichiamo le proprietà delle potenze:

$$ 6a^{1+2} \cdot b^{2+1} = 6a^3b^3$$

ESEMPIO 2

In questo secondo esempio introduciamo anche dei segni negativi:

$$(-3x^2yz) \cdot (+6xy^3)=$$

Ora applichiamo la regola di prima, andando direttamente ad applicare le proprietà delle potenze sulla parte letterale:

$$(-3) \cdot (+6) \cdot x^{2+1} \cdot y^{1+3} \cdot z^{1} = -18x^3y^4z$$

Molto spesso per una questione di comodità possiamo separare il segno dal numero puro, seguendo la regola generale:

$$ \textcolor{orange}{\text{SEGNO }} \cdot \textcolor{blue}{\text{NUMERO }} \cdot \textcolor{green}{\text{LETTERA }}^{\color{red}{\text{ESPONENTE}}} $$

In questo caso lo avremmo risolto così:

$$ \textcolor{orange}{(-) \cdot (+) } \cdot \textcolor{blue}{6 \cdot 3 } \cdot \textcolor{green}{x}^{\color{red}2+1} \cdot \textcolor{green}{y}^{\color{red}1+3} \cdot\textcolor{green}{z}^{\color{red}1} = -18x^3y^4z$$

ESEMPIO 3

Vediamo un esempio più complesso in cui compaiono anche delle frazioni e tre fattori:

$$ \left( – \frac{3}{2} x^2y \right) \cdot \left( – \frac{4}{5} xyz^2 \right) \cdot \left( + \frac{5}{9} y^2z \right) =$$

Procediamo ora con la regola appena imparata:

$$ (-)(-)(+) \cdot \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{9} \right) \cdot x^{2+1} \cdot y^{1+1+2} \cdot z^{2+1} = $$

Direi che ora l’espressione è ordinatissima 

Non ci resta che trovare il risultato, moltiplicando i segni, poi i numeri (semplificando le frazioni) e sommando gli esponenti.

Partiamo dal segno.

$$ (-)(-)(+)=+ $$

Essendo che il segno positivo non influenza il segno del monomio possiamo scrivere solo i segni negativi.

Ed essendo che i segni negativi sono 2 (pari) possiamo anche scrivere solamente:

$$(-)^2=+$$

Per quanto riguarda la parte numerica semplificando il 2 con il 4, il 3 con il 9 e il 5 con il 5 dovremmo avere:

$$ \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{9} = \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

Per la parte letterale andiamo semplicemente a sommare gli esponenti.

A questo punto il nostro risultato è:

$$ + \frac{2}{3} x^3 y^4 z^3$$

ESEMPIO 4

Prendiamo in esame un testo ancora più complesso con quattro fattori:

$$ \left( – \frac{2}{3} ab \right) \cdot \left( + \frac{3}{5} a^2c^2 \right) \cdot \left( – \frac{4}{9} a^3bc \right)\cdot \left( – \frac{15}{6} bc^2 \right) =$$

Applichiamo la regola generale:

$$ (-)^3 \cdot \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{15}{6} \right) \cdot a^{1+2+3} \cdot b^{1+1+1} \cdot c^{2+1+2} = $$

Semplifichiamo prima i numeri o e otteniamo il risultato:

Otteniamo infine il nostro risultato:

$$- \frac{4}{3} a^6 b^3 c^5 $$

DIVISIONE TRA MONOMI

Per effettuare una divisione tra due monomi dividiamo la parte numerica e separatamente la parte letterale, quest’ultima applicando le regole delle potenze.

Facciamo qualche esempio:

ESEMPIO 1

$$ (+4a^3b^4c) \div (-3abc)$$

Anche in questo caso possiamo sempre rifarci alla regola generale:

$$ \textcolor{orange}{\text{SEGNO }} \cdot \textcolor{blue}{\text{NUMERO }} \cdot \textcolor{green}{\text{LETTERA }}^{\color{red}{\text{ESPONENTE}}} $$

$$ (-)^1 \cdot \frac{4}{3} \cdot a^{3-1} \cdot b^{4-1} \cdot c^{1-1} = – \frac{4}{3} a^2 b^3 \color{red}{c^0}$$

Poiché l’esponente della lettera c vale zero possiamo anche non scrivere il termine c poiché il suo valore è 1.

Il risultato è dunque:

$$ – \frac{4}{3} a^2 b^3 $$

ESEMPIO 2

Introduciamo un esempio con le frazioni:

$$ \left( – \frac{3}{5} x^3 y^2 z^4 \right) \div \left( – \frac{9}{2} x y^2 z^3 \right) = \\ (-)^2 \cdot \left( \frac{3}{5} \div \frac{2}{9} \right) \cdot x^{3-1} \cdot y^{2-2} \cdot z^{4-3} $$

Per quanto riguarda la parte numerica possiamo scrivere la divisione tra le due frazionicome il prodotto tra la prima frazione e la seconda invertita:

$$(-)^2 \cdot \left( \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{9} \right) \cdot x^{3-1} \cdot y^{2-2} \cdot z^{4-3} $$

Semplificando i numeratori con i denominatori abbiamo:

$$(-)^2 \cdot \left( \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} \right) \cdot x^{3-1} \cdot y^{2-2} \cdot z^{4-3} $$

Il risultato cercato è dunque:

$$ + \frac{2}{15} x^2z $$

Ovviamente non abbiamo scritto la y poiché il suo esponente è pari a zero.

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POTENZA DI UN MONOMIO

Per fare la potenza di un monomio facciamo la potenza della parte numerica e separatamente la potenza della parte letterale.

Vediamo anche qui un paio di esempi:

PRIMO ESEMPIO

$$ \left( + \frac{2}{3} ab^3c^2 \right)^2 $$

Ovviamente applichiamo la solito regola generale:

$$ \textcolor{orange}{\text{SEGNO }} \cdot \textcolor{blue}{\text{NUMERO }} \cdot \textcolor{green}{\text{LETTERA }}^{\color{red}{\text{ESPONENTE}}} $$

Per quanto riguarda l’esponente della parte letterale lo moltiplichiamo per l’esponente della potenza del monomio.

$$ \textcolor{orange}{(-)^2 } \cdot \textcolor{blue}{\left( \frac{2}{3} \right)^2 } \cdot \textcolor{green}{a }^{\color{red}1 \cdot 2} \cdot \textcolor{green}{b }^{\color{red}3 \cdot 2} \cdot \textcolor{green}{c }^{\color{red}2 \cdot 2} = $$

Quindi il risultato ottenuto è:

$$ + \frac{4}{9} a^2 b^6 c^4 $$

SECONDO ESEMPIO

$$ \left( – \frac{3}{5}xy^2 z^3 \right)^2 = (-)^3 \cdot \left( \frac{3}{5} \right)^3 x^{1 \cdot 3} y^{2 \cdot 3}z^{3 \cdot 3} = – \frac{27}{125} x^3 y^6 z^9 $$

ESPRESSIONI CON TUTTE LE OPERAZIONI

Ora che abbiamo visto separatamente tutte le operazioni che è possibile fare con i monomi, vediamo delle espressione che contengono tutte queste operazioni.

ESEMPIO 1

$$ \left( 2xy – \frac{1}{2} xy \right)^3 – \left( \frac{3}{2} x^2y^3 \right) \cdot \left( \frac{2}{9} x^2y^2 \right) \div \left( \frac{1}{3} xy \right)^2 + \frac{5}{6} x^3y^3 = $$

Per risolvere queste espressioni bisogna tenere ben presente l’ordine in cui andiamo a risolvere i calcoli.

Per prima cosa risolvono le parentesi, in assenza di queste passiamo alle potenze, poi allemoltiplicazioni e divisioni ed infine alle somme e alle differenze.

$$ \left( 2xy – \frac{1}{2} xy \right)^3 – \left( \frac{3}{2} x^2y^3 \right) \cdot \left( \frac{2}{9} x^2y^2 \right) \div \left( \frac{1}{3} xy \right)^2 + \frac{5}{6} x^3y^3 = $$

Individuiamo subito la presenza di tre blocchi nel testo, separati dai meno e dai più:

$$ \color{blue}{\left( 2xy – \frac{1}{2} xy \right)^3} \color{green}{ – \left( \frac{3}{2} x^2y^3 \right) \cdot \left( \frac{2}{9} x^2y^2 \right) \div \left( \frac{1}{3} xy \right)^2 }\color{orange}{ + \frac{5}{6} x^3y^3 }= $$

Nel primo blocco individuato dalla prima parentesi abbiamo una somma di monomi simili, dopo di che provvediamo al calcolo della potenza del monomio:

$$ \color{blue}{\left( 2xy – \frac{1}{2} xy \right)^3 = \left( \left( 2 – \frac{1}{2} \right)xy \right)^3 = \left( \frac{4-1}{2} \right)^3 = \left( \frac{3}{2}xy \right)^3 = \frac{27}{8} x^3 y^3 }$$

Mentre nel secondo blocco dove ci sono i tre monomi centrali che si moltiplicano possiamo risolvere prima la potenza, poi trasformiamo la divisione in moltiplicazione e risolviamo le moltiplicazioni.

$$ \color{green}{ – \left( \frac{3}{2} x^2y^3 \right) \cdot \left( \frac{2}{9} x^2y^2 \right) \div \left( \frac{1}{3} xy \right)^2 =\ – \left( \frac{3}{2} x^3 y^2 \right) \cdot \left( \frac{2}{9} x^3 y^2 \right) \div \left( \frac{1}{9} x^2 y^2 \right) \\ =\ – \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{9} \cdot \frac{9}{1} \right) x^{2+3-2} y^{3+2-2} =\ – \frac{3}{1} x^3 y^3 } $$

L’ultimo blocco non lo tocchiamo fino alla fine.

L’espressione a questo punto diventa:

$$ \color{blue}{ \frac{27}{8} x^3 y^3 } \color{green}{- \frac{3}{1} x^3 y^3 } \color{orange}{ + \frac{5}{6} x^3y^3 }= $$

Ora non dobbiamo che sommare algebricamente i tre monomi simili:

$$ \left( \frac{27}{8} – \frac{3}{1} + \frac{5}{6} \right) x^3y^3 = \frac{81-72+20}{24} x^3y^3 = \frac{29}{24} x^3y^3 $$

SECONDO ESEMPIO:

$$ \left( – \frac{4}{3} x^2yz \right)^2 \div \left( + \frac{4}{9} x^2y^2z \right) – \left[ 2x^2z – \left( – \frac{1}{2} xyz \right)^3 \cdot (4xyz)^2 \div \left( \frac{1}{2} x^2y^5z^4 \right)\right] = $$

Anche in questa espressione possiamo riconoscere due grossi blocchi, separati da un meno (–):

$$\color{blue}{ \left( – \frac{4}{3} x^2yz \right)^2 \div \left( + \frac{4}{9} x^2y^2z \right)} – \color{red}{\left[ 2x^2z – \left( – \frac{1}{2} xyz \right)^3 \cdot (4xyz)^2 \div \left( \frac{1}{2} x^3y^5z^4 \right)\right]} = $$

Risolviamoli separatamente.

Entriamo nel primo blocco:

$$\color{blue}{ \left( – \frac{4}{3} x^2yz \right)^2 \div \left( + \frac{4}{9} x^2y^2z \right)}=$$

Dove per prima cosa risolviamo la potenza:

$$\left( + \frac{16}{9} x^4y^2z^2 \right) \div \left( + \frac{4}{9} x^2y^2z \right)=$$

In seguito passiamo alla divisione:

$$ + \left( \frac{16}{9} \right) \cdot \left( \frac{9}{4} \right) x^{4-2} y^{2-2} z^{2-1}= \color{blue}{+4x^2z}$$

Ora entriamo nel secondo blocco:

$$\color{red}{\left[ 2x^2z – \left( – \frac{1}{2} xyz \right)^3 \cdot (4xyz)^2 \div \left( \frac{1}{2} x^3y^5z^4 \right)\right]} $$

Possiamo togliere la parentesi che crea ingombro:

$$ 2x^2z – \left( – \frac{1}{2} xyz \right)^3 \cdot (4xyz)^2 \div \left( \frac{1}{2} x^3y^5z^4 \right)$$

Per prima cosa passiamo alle potenze:

$$ 2x^2z – \left( – \frac{1}{8} x^3y^3z^3 \right) \cdot (16x^2y^2z^2) \div \left( \frac{1}{2} x^3y^5z^4 \right)$$

Adesso passiamo alle moltiplicazioni – divisioni:

$$ 2x^2z + (-)^2 \cdot \left( \frac{1}{8} \cdot \frac{16}{1} \cdot \frac{2}{1} \right) x^{3+2-3} y^{3+2-5} z ^{3+2-4}$$

Da notare che davanti al meno alla seconda ((–)²) ho inserito un più (+).

Questo perché il segno più (+) è innocuo nel senso che non modifica il segno di quello che viene dopo.

In questo modo ci possiamo concentrare su quello che avviene nella moltiplicazione – divisione dove sono presenti die segni negativi.

Scriviamo dunque il risultato parziale che è:

$$ 2x^2z +4 x^2z = \color{red}{+6x^2y}$$

Ovviamente il passaggio finale è stato quello di sommare i monomi simili sommando i coefficienti.

Adesso che abbiamo i risultati dei due blocchi mettiamoli insieme:

$$ \color{blue}{+4x^2z}- \color{red}{(+6x^2y)} = -2x^2z $$

Si tratta certamente della somma di monomi simili che ormai già conosciamo:

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