La legge di annullamento del prodotto è una delle regole più semplici ma più importanti di tutta la matematica.
Questa regola afferma che quando abbiamo un prodotto di elementi, ad esempio:
Dove:
Questo prodotto vale zero se si annulla almeno uno dei fattori presenti.
Il prodotto tra gli elementi A B e C vale zero se A vale zero oppure (∨) B vale zero oppure (∨) C vale zero.
Consideriamo ad esempio il seguente prodotto di elementi.
Quando questo prodotto vale zero?
Certamente se il primo fattore A vale zero, infatti:
Oppure potrebbe valere zero se il secondo fattore B vale zero, infatti:
Infine potrebbe valere zero se il terzo fattore C vale zero, infatti:
In definitiva possiamo affermare che il prodotto di questi tre elementi vale zero se vale zero almeno uno di questi tre elementi.
In linguaggio matematico traduciamo questa affermazione così:
LEGGE DI ANNULLAMENTO E EQUAZIONI FATTORIZZATE
Consideriamo il caso in cui tutti i fattori presenti dipendono da una certa incognita x.
Rifacendoci al caso di prima con tre fattori:
Possiamo anche riscriverla come:
Dunque se applichiamo le legge di annullamento del prodotto possiamo imporre ognuno dei tre fattori uguale a zero:
Ovviamente in questo caso dobbiamo risolvere equazioni di vario genere.
Facciamo qualche esempio preliminare per schiarire le idee:
ESEMPI DI LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO
Cominciamo con qualche esempio semplice di natura polinomiale, dove l’equazione si trova già nella forma fattorizzata con polinomi di primo grado.
ESEMPIO 1 – LEGGE DI ANNULAMENTO DEL PRODOTTO
Sul lato sinistro abbiamo il prodotto di due fattori di primo grado,
Applichiamo la legge di annullamento del prodotto e imponiamo uguali a zero questi fattori.
In questo modo ricaviamo due equazioni di primo grado:
ESEMPIO 2 – EQUAZIONI FATTORIZZATE
Sul lato sinistro abbiamo il prodotto di tre elementi che dipendono dall’incognita x che si agguagliano a zero.
Applichiamo la legge di annullamento del prodotto e imponiamo ogni fattore uguale a zero e risolviamo tre equazioni di primo grado:
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LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO E SCOMPOSIZIONE
Per poter risolvere equazioni con la legge di annullamento del prodotto molto spesso si renda necessaria la scomposizione di polinomi.
Vediamo alcuni esempi.
ESEMPIO 1 – LEGGE DI ANNULLAMENTO E SCOMPOSIZIONE
Ci troviamo di fronte ad una equazione di secondo grado.
Raccogliamo a fattor comune la x:
Ora applichiamo la legge di annullamento del prodotto e studiamo ogni fattore di primo grado uguale a zero:
ESEMPIO 2 – LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO
Vediamo il seguente testo che riporta un’equazione di secondo grado.
A sinistra abbiamo una differenza di quadrati:
Ora applichiamo la legge di annullamento del prodotto studiando ogni fattore di primo grado uguale a zero:
Soluzione che possiamo anche scrivere così:
ESEMPIO 3 – LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO
Vediamo un altro esempio
Il testo è certamente un’equazione di secondo grado.
Scomponiamo il lato di sinistra come quadrato di binomio:
Ora applichiamo la legge di annullamento del prodotto studiando la base del quadrato uguale a zero:
ESEMPIO 4 – LEGGE DI ANNULLAMENTO E FATTORIZZAZIONE
Ci troviamo di fronte ad un’equazione di terzo grado.
Per prima cosa raccogliamo la x a fattor comune:
Dentro la parentesi abbiamo un trinomio speciale di prodotto pari a –6 e somma pari a +1.
Adesso che abbiamo tutti fattori di primo grado applichiamo la legge di annullamento del prodotto imponendo questi tre fattori di primo grado uguali a zero:
ESEMPIO 5 – LEGGE DI ANNULLAMENTO E SCOMPOSIZIONI
Si tratta chiaramente di una equazione di terzo grado.
Sul lato sinistro possiamo effettuare un raccoglimento a fattor parziale:
Applichiamo quindi legge di annullamento del prodotto e imponiamo i tre fattori di primo grado uguali a zero.
La prima è una banale è equazione di primo grado:
Imponendo il secondo fattore uguale a zero abbiamo una equazione pura di secondo grado:
Tale equazione risulta impossibile nei numeri reali poiché una somma di quadrati è sempre maggiore di zero quindi non può annullarsi:
Attenzione che se operiamo nel campo complesso questa equazione da due soluzioni immaginarie:
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ESEMPIO 6 – LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO
Consideriamo il seguente testo
Leggiamo un’equazione di terzo grado.
Scomponiamo il cubo di binomio sulla sinistra e applichiamo legge di annullamento del prodotto imponendo la base del cubo uguale a zero.
Un cubo vale zero quado la base vale zero.
ESEMPIO 7 – LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO
Consideriamo la seguente equazione di terzo grado
A sinistra riconosciamo una differenza di cubi che possiamo scomporre in un binomio per il falso quadrato
Ora applichiamo la solita legge di annullamento del prodotto imponendo i due fattori uguali a zero
La seconda equazione è impossibile nei numeri reali poiché il falso quadrato è sempre positivo.
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ESEMPIO 8 – LEGGE DI ANNULLAMENTO E FATTORIZZAZIONE
Ripartiamo dal seguente testo
Abbiamo un’equazione di terzo grado dove possiamo applicare la scomposizione con Ruffini.
Dobbiamo cercare se tra i divisori del 6:
vi è qualcuno che possa annullare il polinomio:
In questo caso siamo fortunati poiché il fattore annullante è +1, infatti:
Il polinomio è dunque perfettamente divisibile per (x–1)
Quindi proseguiamo con la divisione con Ruffini:
Facciamo la tabella della divisione con Ruffini:
Il quoziente della divisione con resto zero è:
Dunque l’equazione :
Può essere riscritta in modo fattorizzato come:
Possiamo ancora scomporre il secondo polinomio di secondo grado come un trinomio speciale:
Applichiamo la legge di annullamento del prodotto e risolviamo tre equazioni di primo grado:
LEGGE DI ANNULLAMENTO E FATTORIZZAZIONE CON SOSTITUZIONE
Possiamo riconoscere il concetto di legge di annullamento del prodotto anche in equazioni dove fattorizzazione è valida anche per equazioni non polinomiali
Ci riferiamo in particolare ad equazioni:
Vediamo alcuni esempi.
ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO CON IRRAZIONALI
Consideriamo la seguente equazione irrazionale:
Ora facciamo la seguente sostituzione:
Riscriviamo dunque l’equazione come segue:
Si tratta ora di risolvere un’equazione di secondo grado, quindi spostiamo tutto a sinistra:
Riconosciamo sulla sinistra un trinomio speciale di secondo grado:
Applichiamo ora l’annullamento del prodotto e risolviamo due equazioni di primo grado in t, da cui poi otteniamo due equazioni irrazionali in x:
ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO CON IL VALORE ASSOLUTO
Consideriamo la seguente equazione in modulo o valore assoluto:
Sostituiamo il valore assoluto di x con la t:
Ricordiamo che scrivere il quadrato di x equivale a scrivere nei reali il quadrato del modulo di x:
Dunque possiamo scrivere l’equazione come segue:
Si tratta ora di risolvere un’equazione di secondo grado, quindi spostiamo tutto a sinistra:
Riconosciamo sulla sinistra un trinomio speciale di secondo grado:
Applichiamo ora l’annullamento del prodotto e risolviamo due equazioni di primo grado in t, da cui poi otteniamo due equazioni in modulo o valore assoluto.
Come si nota la prima equazione è impossibile poichè un modulo non può essere negativo!
ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO CON ESPONENZIALI
Consideriamo la seguente equazione esponenziale:
Ora facciamo la seguente sostituzione:
Otteniamo un’equazione di secondo grado in t:
Riconosciamo sulla sinistra un trinomio speciale di secondo grado:
Applichiamo ora l’annullamento del prodotto e risolviamo due equazioni di primo gradoin t, da cui poi otteniamo due equazioni esponenziali.
Come si nota la seconda equazione è impossibile poichè un esponenziale non può essere negativo!
ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO CON LOGARITMI
Consideriamo la seguente equazione logaritmica:
Ora facciamo la seguente sostituzione:
Possiamo dunque riscrivere il nostro testo come un’equazione di secondo grado:
Riconosciamo sulla sinistra un trinomio speciale di secondo grado:
Applichiamo ora l’annullamento del prodotto e risolviamo due equazioni di primo grado in t, da cui poi otteniamo due equazioni logaritmiche.
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ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO CON DUE VARIABILI
La legge di annullamento del prodotto può estendersi al caso di più variabili.
In particolare quando ci riferiamo a due variabili x e y, possiamo trovarci in un generico caso del tipo:
Dove i fattori presenti sul lato sinistra dipendono appunto dalle due variabili x e y.
Allo stesso modo di quanto visto per il caso con una variabile imponiamo i fattori uguali a zero.
Così facendo possiamo rappresentare nel sistema cartesiano gli zeri del polinomio come figure geometriche come ad esempio rette, parabole, ellissi, circonferenza, iperboli, etc.
Proviamo a fare qualche basico esempio.
ESEMPIO 1 – ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO IN DUE VARIABILI
L’esempio più primitivo di come la legge di annullamento del prodotto può essere rappresentato nel sistema cartesiano è la stessa costruzione del sistea cartesiano:
Senza nessuno sforzi possiamo ricavare le soluzioni che sono proprio i due assi cartesiani
ESEMPIO 2 – ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO IN DUE VARIABILI
Facciamo un raccoglimento parziale:
Ora possiamo riconoscere una differenza di quadrati nel primo fattore:
Applicando l’annullamento del prodotto troviamo che:
Come interpretare tutto ciò dal punto di vista grafico?
Cominciamo con il rappresentare il polinomio:
Analizzare gli zeri del polinomio significa vedere cosa si forma nell’intersezione tra il polinomio e il piano z=0.
Nel nostro caso specifico, grazie alla fattorizzazione del polinomio vediamo queste intersezioni nelle rette:
ESEMPIO 3 – ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO IN DUE VARIABILI
Proponiamo un’altra equazione fattorizzata in cui è possibile applicare la legge di annullamento del prodotto con due variabili:
Facciamo un raccoglimento parziale a coppie:
Applicando l’annullamento del prodotto sul primo fattore:
Si tratta di una retta ed in particolare della bisettrice del primo e del quadrante
Passando invece al secondo fattore:
Si tratta di una circonferenza con centro nell’origine degli assi e raggio pari a 1.
Possiamo riscriverla anche così:
Possiamo anche in questo caso rappresentare il polinomio e le intersezioni con il piano di livello zero:
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