Il corso in oggetto tratta di tutti i temi principali relativi all’algebra lineare.
PREMESSA
L’algebra lineare è la branca della matematica che si occupa di vettori, matrici, sistemi lineari, spazi vettoriali e funzioni lineari.
Questa disciplina trova una vasta gamma di applicazioni in altre materie come ad esempio in fisica, statistica, matematica finanziaria, finanza, economia politica e informatica.
La sua utilità maggiore consiste nell’utilizzare una scrittura sintetica per descrivere problemi complessi che contengono una vasta quantità di dati.
IL PERCORSO MATEMATICO
Per intraprendere un buon percorso di matematica possiamo seguire questi nove punti:
- Dai numeri naturali alle prime equazioni
- Dalle equazioni ai primi studi di funzione
- Geometria Cartesiana
- Goniometria e Trigonometria
- Limiti, derivate e integrali
- Teoremi
- Algebra lineare
- Analisi matematica 1
- Funzioni a due variabili
Il corso che andiamo a vedere è incentrato sullo studio dell’algebra lineare.
STRUTTURA DEL CORSO
In questo corso trattiamo dunque i principali argomenti che riguardano i principali temi trattati nell’ambito dell’algebra lineare.
Il corso di algebra lineare è suddiviso nei seguenti punti:
- Vettori (parte 1)
- Matrici
- Sistemi lineari
- Vettori (parte 2)
- Spazi, sottospazi e basi
- Funzioni lineari
- Rette e piani nello spazio
- Autovalori, autovettori e autospazi
- Coniche
La numerazione potrebbe essere diversa da quella del corso, ma gli argomenti seguono esattamente questo ordine
1 – I VETTORI (PARTE 1)
In questa parte andiamo a definire i vettori dal punto di vista algebrico, le loro principali operazioni ed il concetto di combinazioni lineari tra vettori e vettori linearmente dipendenti e indipendenti.
Nell’ordine abbiamo:
- concetto di vettore dal punto di vista algebrico
- operazioni principali con i vettori
- combinazioni lineari tra vettori
- vettori linearmente dipendenti e indipendenti
2 – LE MATRICI
Le matrici rappresentano un oggetto matematico più complesso composta da un certo numero di vettori.
In questa parte di corso vedremo:
- definizione di matrice
- le varie tipologie di matrice
- operazioni con le matrici (somma, moltiplicazione scalare-matrice, moltiplicazione tra matrici)
- matrice identica e matrice inversa
- Matrice inversa di una matrice non quadrata
- matrice inversa di una matrice quadrata
- determinante di una matrice
- la regola di Laplace
- Matrice inversa con i determinanti
- Matrice inversa con il metodo Gauss
- rango di una matrice
- riduzione a scala di una matrice (pivot)
3 – SISTEMI LINEARI
Eccoci alla parte sui sistemi lineari, dove l’algebra delle equazioni di primo grado si fonde con la teoria matriciale.
Nello specifico vedremo:
- il concetto di sistema lineare
- sistemi lineari e matrici
- teorema di Rouchè-Capelli (importantissimo)
- metodo Cramer per risolvere sistemi lineari
- riduzione a scala di una matrice (pivot)
- metodo Gauss-Green per la risoluzione di sistemi lineari
4 – I VETTORI (PARTE 2)
In questa parte del corso ritorniamo all’origine della materia, affrontando i vettori più dal punto di vista geometrico.
In questa sezione vedremo:
- i vettori come enti geometrici
- combinazioni lineari di vettori
- prodotto scalare vettoriale
- prodotto vettoriale (valido solo in R^3)
- Vettori, angoli e vettori ortogonali
5 – SPAZI VETTORIALI, SOTTOSPAZI E BASI
In questa parte del corso vedremo il concetto di spazio vettoriale, dei suoi generatori e le basi.
Lo stesso vale per i sottospazi vettoriali
Nello specifico:
- spazi vettoriali, generatori e basi
- basi ortogonali
- sottospazi vettoriali e basi
- regressione con le matrici
6 – LE FUNZIONI LINEARI
Ed eccoci arrivati al nucleo essenziale di tutta l’algebra lineare, le funzioni lineari, dette anche applicazioni lineari.
nello specifico vedremo:
- definizione di funzione lineare
- base del dominio e del codominio
- cambiamento di base
- funzioni lineari e matrici associate
- nucleo e immagine di un’applicazione lineare
7 – RETTE E PIANI NELLO SPAZIO
L’algebra lineare ha una interessante applicazione nella geometria, evidente quando si affronta l’argomento riguardante le rette e i piani nello spazio.
in questa parte troviamo:
- le rette nello spazio
- equazione di una retta: cartesiana e parametrica
- posizione di due rette nello spazio: parallele, incidenti e sghembe
- distanza punto-retta
- distanza tra due rette sghembe
- equazione di un piano: cartesiana e parametrica
- piano passante per tre punti
- vettore normale al piano
- distanza punto-piano
- piani paralleli, incidenti e perpendicolari
8 – AUTOVALORI, AUTOVETTORI E AUTOSPAZI
In questa sezioni ritorniamo al concetto di matrice, come rappresentativa di una certa funzione lineare e ne studiamo gli autovalori, autovettori e autospazi
nel specifico troviamo:
- autovalori, autovettori e autospazi
- diagonalizzazione di una matrice
- molteplicità algebrica e geometrica
- diagonalizzazione di matrici parametriche
9 – LE CONICHE
Un’interessante applicazione dell’algebra lineare che connette le matrici alla teoria di autovalori e autospazi è quella che studia le coniche:
- introduzione alle coniche
- coniche e matrici associate
- forma canonica di una conica
NOTE FINALI SUL CORSO
- 75 LEZIONI CON CIRCA 35 ORE
- DEFINIZIONI E TANTI ESEMPI PRATICI
- SPIEGAZIONI CHIARE E DETTAGLIATE
- MATERIALI IN PDF SCARICABILI
La durata del corso è di 400 giorni