Il corso completo di matematica comprende i principali argomenti che servono a sostenere un esame di matematica basilare per l’università.
E’ adatto comunque a supportare un percorso matematico generale anche per le scuole superiori.
INDICE
- 1 PREMESSA
- 2 STRUTTURA DEL CORSO COMPLETO DI MATEMATICA
- 2.1 1. DAI CONCETTI BASE ALLE PRIME EQUAZIONI – UN RAPIDO RIPASSO
- 2.2 2. DALLE EQUAZIONI AI PRIMI STUDI DI FUNZIONE
- 2.3 3 – GEOMETRIA CARTESIANA (DA INTEGRARE – SOLO RETTA)
- 2.4 4 – GONIOMETRIA E TRIGONOMETRIA (DA INTEGRARE)
- 2.5 5 – LIMITI, DERIVATE E INTEGRALI
- 2.6 6 – TEOREMI (DA INTEGRARE)
- 2.7 7 -ALGEBRA LINEARE
- 2.8 8 – ANALISI 1 (DA INTEGRARE – SOLO INGEGNERIA)
- 2.9 9 – FUNZIONI A DUE VARIABILI
PREMESSA
La matematica è la materia per eccellenza che ha accompagnato la storia dell’uomo con la nascita e l’evoluzione di grandi società.
Quando le società si sono sviluppate, passando da quelle primitive a quelle più moderne, sono per l’uomo sono nate nuove sfide:
- Creare canali di irrigazione
- Organizzare gli scambi commerciali
- Tenere la contabilità dei magazzini
- Studiare le stelle per stabilire rotte marittime
- Costruire grandi opere ingegneristiche
Grazie alla matematica l’uomo ha sviluppato schemi astratti che possono risolvere questi problemi pratici.
La conoscenza matematica ha viaggiato negli ultimi cinque millenni passando per la Mesopotamia, l’Asia minore, la Grecia, la Cina e l’India, l’Egitto e il mondo arabo.
Il mondo occidentale è riuscito a riappropriarsene solo dal XII secolo grazie proprio al commercio con gli arabi.
Per oltre sei secoli le scoperte matematiche hanno attraversato l’Italia, la Germania (Prussia), la Francia, l’Inghilterra.
Attraverso le figure di matematici come Tartaglia, Cardano, Cartesio, Viete, Eulero, Torricelli, Newton, Leibnitz, Ruffini e Gauss (tanto per citarne alcuni) la matematica appare oggi così come la conosciamo.
STRUTTURA DEL CORSO COMPLETO DI MATEMATICA
Il Corso per preparare l’esame di elementi di matematica è stato suddiviso nelle seguenti sezioni:
- Dai concetti base alle prime equazioni
- Dalle equazioni ai primi studi di funzioni
- Geometria cartesiana (da integrare – solo retta)
- Trigonometria (da integrare)
- Limiti, derivate e integrali
- Teoremi (da integrare)
- Algebra lineare (parte su vettori, matrici e sistemi lineari)
- Analisi 1 (da integrare – solo per ingegneria)
- Funzioni a due variabili (gradiente, hessiano e punti stazionari)
NB: La sezioni con scritto (da integrare) non fanno parte del corso e sono da integrare con i minicorsi.
Se non disponente di eserciziari consiglio di integrare il corso completo con l’eserciziario.
1. DAI CONCETTI BASE ALLE PRIME EQUAZIONI – UN RAPIDO RIPASSO
Molto spesso si comincia a preparare l’esame di elementi di matematica non si tiene in considerazione che il punto di partenza non sono le derivate e gli integrali.
Per un corretto approccio al mondo delle funzioni è infatti di basilare importanza conoscere gli elementi fondamentali del calcolo ovvero:
- numeri
- monomi e operazioni con i monomi
- polinomi e operazioni con i polinomi: somme, moltiplicazioni, potenze
- prodotti notevoli
- Divisioni polinomiali e divisioni con Ruffini
- scomposizione dei polinomi
- frazioni algebriche
- fondamenti delle equazioni
- equazioni di primo grado (e disequazioni)
- equazioni fratte e fattorizzate (e disequazioni)
Questo mini corso offre una rapida rispolverata per tutti quei concetti che vengono presto lasciati nel dimenticatoio dalla gran parte degli studenti.
Questo avviene pressappoco tra la prima e la seconda superiore.
2. DALLE EQUAZIONI AI PRIMI STUDI DI FUNZIONE
In questa seconda parte gli argomento trattati sono:
- equazioni di primo grado e disequazioni di primo grado
- sistemi di disequazioni
- equazioni fratte e fattorizzate
- radicali, argomento ampio
- equazioni di secondo grado e disequazioni di secondo grado
- equazioni irrazionali e disequazioni irrazionali
- equazioni esponenziali e disequazioni esponenziali
- logaritmi e proprietà dei logaritmi
- equazioni logaritmiche e disequazioni logaritmiche
Chiaramente la risoluzioni delle equazioni e delle disequazioni può essere interpretata graficamente attraverso lo studio delle funzioni:
- retta o funzione di primo grado
- Parabola o funzioni di secondo grado
- Funzione potenza e funzione radice
- modulo o valore assoluto
- Funzione esponenziale e funzione logaritmica
3 – GEOMETRIA CARTESIANA (DA INTEGRARE – SOLO RETTA)
Per quanto riguarda la geometria cartesiana viene trattato il teme della retta.
Per approfondire questa sezione ti rimando al corso di geometria cartesiana.
4 – GONIOMETRIA E TRIGONOMETRIA (DA INTEGRARE)
Questa parte è presente nel minicorso di goniometria e trigonometria
5 – LIMITI, DERIVATE E INTEGRALI
La sezione che si occupa dei limiti comprende:
- Concetto di limite
- Analisi grafica di un limite
- Calcolo dei limiti
- Forme determinate e indeterminate
- La scala degli infiniti
- La forma indeterminata più infinito meno infinito
- La forma indeterminata infinito su infinito
- La forma indeterminata zero su zero
- I limiti notevoli
- Continuità di una funzione
- Punti di discontinuità
La sezione che riguarda le derivate comprende:
- Il rapporto incrementale
- Derivata e rapporto incrementale
- Regole di derivazione per funzioni elementari
- Derivata di una somma
- Derivata di un prodotto
- Derivata di una frazione
- Derivate di funzioni composte
- Punti di non derivabilità
- Punti stazionari
- Monotonia e derivata
- Concavità e punti di flesso
Nella sezione di corso che riguarda gli integrali vedremo:
- Definizione di integrale
- La funzione primitiva
- Integrale indefinito
- Regole di integrazione per funzioni elementari
- Integrale per sostituzione
- Integrale per parti
- Integrali di funzioni fratte
- Integrali definiti
6 – TEOREMI (DA INTEGRARE)
Potete integrare la parte dei principali teoremi di funzioni ad un variabile nel corso teoremi
7 -ALGEBRA LINEARE
Il corso di algebra lineare è suddiviso nei seguenti punti:
- Vettori (parte 1)
- Matrici
- Sistemi lineari
I VETTORI (PARTE 1)
In questa parte andiamo a definire i vettori dal punto di vista algebrico, le loro principali operazioni ed il concetto di combinazioni lineari tra vettori e vettori linearmente dipendenti e indipendenti.
Nell’ordine abbiamo:
- concetto di vettore dal punto di vista algebrico
- operazioni principali con i vettori
- combinazioni lineari tra vettori
- vettori linearmente dipendenti e indipendenti
LE MATRICI
Le matrici rappresentano un oggetto matematico più complesso composta da un certo numero di vettori.
In questa parte di corso vedremo:
- definizione di matrice
- le varie tipologie di matrice
- operazioni con le matrici (somma, moltiplicazione scalare-matrice, moltiplicazione tra matrici)
- matrice identica e matrice inversa
- Matrice inversa di una matrice non quadrata
- matrice inversa di una matrice quadrata
- determinante di una matrice
- la regola di Laplace
- Matrice inversa con i determinanti
- Matrice inversa con il metodo Gauss
- rango di una matrice
- riduzione a scala di una matrice (pivot)
SISTEMI LINEARI
Eccoci alla parte sui sistemi lineari, dove l’algebra delle equazioni di primo grado si fonde con la teoria matriciale.
Nello specifico vedremo:
- il concetto di sistema lineare
- sistemi lineari e matrici
- teorema di Rouchè-Capelli (importantissimo)
- metodo Cramer per risolvere sistemi lineari
- riduzione a scala di una matrice (pivot)
- metodo Gauss-Green per la risoluzione di sistemi lineari
8 – ANALISI 1 (DA INTEGRARE – SOLO INGEGNERIA)
La parte sull’analisi 1 è tipico oggetto di studio universitario solamente per facoltà di ingegnaria o superiori.
Per integrarla vai al minicorso di analisi matematica 1
9 – FUNZIONI A DUE VARIABILI
Nella parte relativa alle funzioni a due variabili troveremo:
- concetto di funzione a due variabili
- cenni sul dominio
- derivate parziali prime e vettore gradiente
- Punti stazionari e classificazione mediante il metodo dell’Hessiano.
Per avere una visione più completa sull’argomento è disponibile il corso funzioni a due variabili
NOTE FINALI